Aplique a condição de normalização na autofunção do estado fundamental do oscilador harmônico. Calcule os valores esperados de \bar{p} e \overline{p^{2}}. Faça os cálculos em detalhes.
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a x^{2}} d x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
Pedem para aplicar a condição de normalização na autofunção do estado fundamental do oscilador harmônico e, a partir dela, calcular os valores esperados \bar{p} e \overline{p^{2}}.
Vou usar a forma padrão (não-normalizada) do estado fundamental escrita como uma gaussiana: \psi_{0}(x)=A\,e^{-\alpha x^{2}}, onde introduzi \alpha para simplificar a escrita. Mais adiante vou relacionar \alpha com os parâmetros físicos do oscilador.
Informação matemática fornecida (útil para normalização):
Quantidades que precisamos devolver ao final: a constante de normalização A, o valor esperado do momento \bar{p}=\langle p\rangle e o valor esperado do quadrado do momento \overline{p^{2}}=\langle p^{2}\rangle.
Passo 2
Normalização da autofunção (passo a passo):
A condição de normalização é
\int_{-\infty}^{+\infty} |\psi_{0}(x)|^{2}\,dx=1.
Com \psi_{0}(x)=A\,e^{-\alpha x^{2}} temos |\psi_{0}(x)|^{2}=|A|^{2} e^{-2\alpha x^{2}}. Então
Podemos escolher A real e positivo (fase irrelevante), então
A=\left(\frac{2\alpha}{\pi}\right)^{1/4}.
Relação com os parâmetros físicos do oscilador harmônico: a forma usual do estado fundamental tem \alpha=\dfrac{m\omega}{2\hbar}. Portanto a constante de normalização física é
A=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4},
pois substituindo \alpha=m\omega/(2\hbar) em A=(2\alpha/\pi)^{1/4} dá a expressão acima. (Isto é a forma canônica conhecida.)
Passo 3
Cálculo de \bar{p}=\langle p\rangle — lembrete e execução detalhada:
No espaço das posições a representação do operador momento é
\hat{p}=-i\hbar\frac{d}{dx},
onde i é a unidade imaginária e \hbar a constante de Planck reduzida. O valor esperado é
Como \psi_{0}(x) que usamos é real (escolhemos A real) e é uma função par (gaussiana: \psi_{0}(-x)=\psi_{0}(x)), a sua derivada \psi_{0}'(x) é ímpar (\psi_{0}'(-x)=-\psi_{0}'(x)). Assim o integrando \psi_{0}(x)\psi_{0}'(x) é par\timesímpar = ímpar. A integral de uma função ímpar em limites simétricos [-\infty,+\infty] é zero. Logo
Alternativa pelo cálculo direto (integração por partes) para ver outro ponto de vista: escrevendo \langle p\rangle = -i\hbar \int \psi_{0}\psi_{0}' dx = -i\hbar \left[\tfrac{1}{2}\psi_{0}^{2}\right]_{-\infty}^{+\infty}. Como \psi_{0}(x)\to 0 quando |x|\to\infty, o termo de fronteira é zero e novamente \langle p\rangle=0.
Conclusão: \bar{p}=0.
Passo 4
Cálculo de \overline{p^{2}}=\langle p^{2}\rangle passo a passo (método direto):
No espaço de posição \hat{p}^{2}=-\hbar^{2}\dfrac{d^{2}}{dx^{2}}. Então
Agora calculamos \langle x^{2}\rangle explicitamente. Usamos |\psi_{0}|^{2}=|A|^{2}e^{-2\alpha x^{2}} e a fórmula gaussiana fornecida. A integral necessária é
\int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} e^{-a x^{2}}\,dx.
Podemos obter essa integral diferenciando a fórmula básica em relação a a. Começando de
O lado esquerdo é \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial a} e^{-a x^{2}}\,dx = -\int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} e^{-a x^{2}}\,dx. O lado direito é -\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi}\,a^{-3/2}. Portanto
Isto é o resultado esperado e consistente com a relação de energia do estado fundamental do oscilador harmônico (energia E_{0}=\tfrac{1}{2}\hbar\omega, com contribuições cinética e potencial iguais pelo teorema do virial).
Passo 5
Resumo intuitivo e checagem rápida (um jeitinho para lembrar na prova):
O estado fundamental é uma gaussiana real e par, por isso \langle p\rangle=0 (simetria/paridade).
O valor \langle p^{2}\rangle pode ser encontrado diretamente pela derivação mostrada ou lembrando que em um potencial quadrático as energias cinética e potencial têm médias iguais; como E_{0}=\tfrac{1}{2}\hbar\omega, então \langle T\rangle=\tfrac{1}{4}\hbar\omega e \langle p^{2}\rangle=2m\langle T\rangle=\tfrac{m\hbar\omega}{2}. Isso confirma o cálculo direto.