Aplique a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
Determine
.
Determine
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de
aplicando a definição. Informação dada:
- A função é
, definida para . - Quer-se
.
Passo 2
Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e explicar cada símbolo:
Aqui
é a variável de tempo (integração),
é a variável complexa da transformada, e a integral é imprópria (limite até infinito). Para aplicar a definição precisamos avaliar essa integral e verificar quando ela converge.
Passo 3
Usando linearidade da integral (propriedade da transformada que vem diretamente da definição integral), separo a soma:
Simplificando os exponenciais dentro das integrais:
Passo 4
Calculo a primeira integral. Para
vale
. Aplicando isso:
Para que o limite em
seja zero precisamos de
, ou seja
. Supondo isso, o termo em
é zero e o termo em
é
com sinal trocado, logo
Multiplicando pelo fator
do início:
Passo 5
Agora a segunda integral:
Análogo ao caso anterior, converge se
, ou seja
. Sob essa condição,
Multiplicando pelo fator
do início:
Passo 6
Juntando as duas parcelas (lembrando que ambas devem convergir), a região de convergência é a interseção das condições:
e
, portanto a mais restritiva é
. Assim
Passo 7
Se quiser, pode-se simplificar a soma para um único quociente com denominador comum:
sempre válido para
.