Aplique a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
Determine
f(t)=2 e^{-3 t}+3 e^{-5 t}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de f(t)=2 e^{-3 t}+3 e^{-5 t} aplicando a definição. Informação dada:
  • A função é f(t)=2 e^{-3 t}+3 e^{-5 t}, definida para t\ge 0.
  • Quer-se \mathcal{L}\{f\}(s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt.

Passo 2

Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e explicar cada símbolo:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt.
Aqui t é a variável de tempo (integração), s é a variável complexa da transformada, e a integral é imprópria (limite até infinito). Para aplicar a definição precisamos avaliar essa integral e verificar quando ela converge.

Passo 3

Usando linearidade da integral (propriedade da transformada que vem diretamente da definição integral), separo a soma:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\big(2 e^{-3t}+3 e^{-5t}\big)\,dt =2\int_{0}^{\infty} e^{-s t}e^{-3t}\,dt+3\int_{0}^{\infty} e^{-s t}e^{-5t}\,dt.
Simplificando os exponenciais dentro das integrais:
\mathcal{L}\{f\}(s)=2\int_{0}^{\infty} e^{-(s+3)t}\,dt+3\int_{0}^{\infty} e^{-(s+5)t}\,dt.

Passo 4

Calculo a primeira integral. Para a\neq 0 vale \displaystyle\int e^{-a t}\,dt=-\frac{1}{a}e^{-a t}. Aplicando isso:
I_1=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+3)t}\,dt =\left[-\frac{1}{s+3}e^{-(s+3)t}\right]_{t=0}^{t\to\infty}.
Para que o limite em t\to\infty seja zero precisamos de \Re(s+3)>0, ou seja \Re(s)>-3. Supondo isso, o termo em \infty é zero e o termo em 0 é -\frac{1}{s+3}\cdot 1 com sinal trocado, logo
I_1=\frac{1}{s+3},\qquad\text{valendo para }\Re(s)>-3.
Multiplicando pelo fator 2 do início:
2I_1=\frac{2}{s+3}.

Passo 5

Agora a segunda integral:
I_2=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+5)t}\,dt =\left[-\frac{1}{s+5}e^{-(s+5)t}\right]_{0}^{\infty}.
Análogo ao caso anterior, converge se \Re(s+5)>0, ou seja \Re(s)>-5. Sob essa condição,
I_2=\frac{1}{s+5}.
Multiplicando pelo fator 3 do início:
3I_2=\frac{3}{s+5}.

Passo 6

Juntando as duas parcelas (lembrando que ambas devem convergir), a região de convergência é a interseção das condições: \Re(s)>-3 e \Re(s)>-5, portanto a mais restritiva é \Re(s)>-3. Assim
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{2}{s+3}+\frac{3}{s+5},\qquad \Re(s)>-3.

Passo 7

Se quiser, pode-se simplificar a soma para um único quociente com denominador comum:
\frac{2}{s+3}+\frac{3}{s+5}=\frac{2(s+5)+3(s+3)}{(s+3)(s+5)} =\frac{5s+19}{(s+3)(s+5)},
sempre válido para \Re(s)>-3.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{2}{s+3}+\frac{3}{s+5}, para \Re(s)>-3\n
\displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{5s+19}{(s+3)(s+5)}, para \Re(s)>-3

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