Aplique a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
Determine
f(t)=3 e^{-5 t}.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar a definição da transformada de Laplace e encontrar a transformada da função f(t)=3 e^{-5 t}.
Informações dadas:
  • A função é f(t)=3 e^{-5 t} definida para t\ge0.
    O objetivo é calcular \mathcal{L}\{f\}(s) (a transformada de Laplace) e indicar a região de convergência em s.

Passo 2

Vou lembrar e explicar a definição da transformada de Laplace. Para uma função f(t) (definida em t\ge0), a transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa, geralmente escrita como s=\sigma+i\omega. A integral impropriamente converge somente quando a parte real de s está numa determinada região (essa é a chamada região de convergência). Aqui, sempre que eu usar essa definição, vou explicitar as condições de convergência.

Passo 3

Substituo f(t)=3 e^{-5 t} na definição:
\mathcal{L}\{3 e^{-5 t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,\bigl(3 e^{-5 t}\bigr)\,dt.
Posso juntar os exponenciais:
\mathcal{L}\{3 e^{-5 t}\}(s)=3\int_{0}^{\infty} e^{-(s+5)t}\,dt.
Aqui usei a propriedade básica que um fator constante pode sair da integral (o 3) e que e^{-s t}e^{-5t}=e^{-(s+5)t}.

Passo 4

Agora calculo a integral imprópria \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-(s+5)t}\,dt. Para tornar a notação mais clara, defino \alpha = s+5. Então a integral fica \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\,dt.
Conhecimento útil (pequena “aula”): para \alpha com \operatorname{Re}(\alpha)>0, tem-se
\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\,dt = \lim_{T\to\infty}\int_{0}^{T} e^{-\alpha t}\,dt = \lim_{T\to\infty}\left[\frac{-1}{\alpha}e^{-\alpha t}\right]_{0}^{T}.
Avalio o limite: se \operatorname{Re}(\alpha)>0 então e^{-\alpha T}\to0 quando T\to\infty, e no t=0 tem e^{-\alpha\cdot 0}=1. Assim
\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\,dt = 0 -\left(\frac{-1}{\alpha}\right)=\frac{1}{\alpha}.
Portanto, voltando à nossa integral, desde que \operatorname{Re}(s+5)>0 (ou seja, \operatorname{Re}(s)>-5), vale
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+5)t}\,dt = \frac{1}{s+5}.

Passo 5

Multiplicando pelo fator 3 que estava fora da integral, obtenho
\mathcal{L}\{3 e^{-5 t}\}(s)=3\cdot\frac{1}{s+5}.
Assim a transformada pode ser escrita de forma simplificada como \dfrac{3}{s+5}, com região de convergência dada por \operatorname{Re}(s)>-5. (Observação rápida: isso coincide com a fórmula padrão \mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\dfrac{1}{s-a} aplicada a a=-5, multiplicando depois por 3.)

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{3 e^{-5 t}\}(s)=\frac{3}{s+5},\quad \operatorname{Re}(s)>-5

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