Aplique a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
Determine
.
Determine
Passo 1
O enunciado pede para aplicar a definição da transformada de Laplace e encontrar a transformada da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
definida para .
O objetivo é calcular(a transformada de Laplace) e indicar a região de convergência em .
Passo 2
Vou lembrar e explicar a definição da transformada de Laplace. Para uma função
(definida em
), a transformada de Laplace é
onde
é uma variável complexa, geralmente escrita como
. A integral impropriamente converge somente quando a parte real de
está numa determinada região (essa é a chamada região de convergência). Aqui, sempre que eu usar essa definição, vou explicitar as condições de convergência.
Passo 3
Substituo
na definição:
Posso juntar os exponenciais:
Aqui usei a propriedade básica que um fator constante pode sair da integral (o
) e que
.
Passo 4
Agora calculo a integral imprópria
. Para tornar a notação mais clara, defino
. Então a integral fica
.
Conhecimento útil (pequena “aula”): para
com
, tem-se
Avalio o limite: se
então
quando
, e no
tem
. Assim
Portanto, voltando à nossa integral, desde que
(ou seja,
), vale
Passo 5
Multiplicando pelo fator
que estava fora da integral, obtenho
Assim a transformada pode ser escrita de forma simplificada como
, com região de convergência dada por
. (Observação rápida: isso coincide com a fórmula padrão
aplicada a
, multiplicando depois por
.)