Aplique a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede: aplicar a definição e encontrar a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
para (pressuposto usual para transformada de Laplace). - Deve-se usar a definição da transformada de Laplace (integral impróprio de
a ).
Passo 2
Definição e propriedade útil (linearidade). A transformada de Laplace de uma função
é definida por
desde que a integral convirja. Aqui
é a variável complexa (na prática para convergência vamos exigir
). Pelo fato de integrais serem lineares, vale
Ou seja, podemos calcular as transformadas de
e de
separadamente e combinar.
Passo 3
Cálculo de
pela definição. Temos
Calcule a integral imprópria:
Para
tem-se
quando
, logo
Passo 4
Cálculo de
pela definição, usando integração por partes duas vezes. Defina
Fazer integração por partes com
e
. Então
e
. Assim
Avalie o termo de fronteira:
para
(expoente domina polinômio) e em
dá
. Portanto o primeiro termo é
, e ficamos com
Agora calcule
por integração por partes novamente: tome
,
, então
,
. Assim
O termo de fronteira é
(novamente
quando
), e já calculamos
. Portanto
Substituindo em
obtemos
Observação rápida: isso coincide com a fórmula geral
para
inteiro não negativo (aqui
dá
).
Passo 5
Combine os resultados pela linearidade. Temos
com região de convergência
.
Passo 6
Resumo rápido e encorajamento: o procedimento foi usar a definição integral, explorar a linearidade (somar transformadas) e calcular a transformada de
por partes duas vezes. Dá para decorar a fórmula geral
, que acelera muito a resolução na prova. Vai dar certo — mantenha a calma e treine mais uns exercícios parecidos!