Aplique a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=7+2 t^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: aplicar a definição e encontrar a transformada de Laplace da função f(t)=7+2 t^{2}.
Informações dadas:
  • A função é f(t)=7+2 t^{2} para t\ge 0 (pressuposto usual para transformada de Laplace).
  • Deve-se usar a definição da transformada de Laplace (integral impróprio de 0 a \infty).

Passo 2

Definição e propriedade útil (linearidade). A transformada de Laplace de uma função f é definida por
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt,
desde que a integral convirja. Aqui s é a variável complexa (na prática para convergência vamos exigir s>0). Pelo fato de integrais serem lineares, vale
\mathcal{L}\{7+2t^{2}\}(s)=7\,\mathcal{L}\{1\}(s)+2\,\mathcal{L}\{t^{2}\}(s).
Ou seja, podemos calcular as transformadas de 1 e de t^{2} separadamente e combinar.

Passo 3

Cálculo de \mathcal{L}\{1\}(s) pela definição. Temos
\mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
Calcule a integral imprópria:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt=\lim_{A\to\infty}\int_{0}^{A} e^{-s t}\,dt =\lim_{A\to\infty}\left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{A} =\lim_{A\to\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-s A}+\frac{1}{s}\right).
Para s>0 tem-se e^{-s A}\to 0 quando A\to\infty, logo
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}\qquad(\text{para }s>0).

Passo 4

Cálculo de \mathcal{L}\{t^{2}\}(s) pela definição, usando integração por partes duas vezes. Defina
I(s)=\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt.
Fazer integração por partes com u=t^{2} e dv=e^{-s t}\,dt. Então du=2t\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}. Assim
I(s)=\left[t^{2}\left(-\frac{1}{s}e^{-s t}\right)\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-s t}\right)2t\,dt.
Avalie o termo de fronteira: \lim_{t\to\infty} t^{2}e^{-s t}=0 para s>0 (expoente domina polinômio) e em t=0 0. Portanto o primeiro termo é 0, e ficamos com
I(s)=\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt.
Agora calcule J(s)=\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt por integração por partes novamente: tome u=t, dv=e^{-s t}\,dt, então du=dt, v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}. Assim
J(s)=\left[-\frac{t}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
O termo de fronteira é 0 (novamente t e^{-s t}\to0 quando t\to\infty), e já calculamos \int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt=\dfrac{1}{s}. Portanto
J(s)=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.
Substituindo em I(s) obtemos
I(s)=\frac{2}{s}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{2}{s^{3}}\qquad(\text{para }s>0).
Observação rápida: isso coincide com a fórmula geral \mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\dfrac{n!}{s^{n+1}} para n inteiro não negativo (aqui n=2 2!/s^{3}=2/s^{3}).

Passo 5

Combine os resultados pela linearidade. Temos
\mathcal{L}\{7+2t^{2}\}(s)=7\cdot\frac{1}{s}+2\cdot\frac{2}{s^{3}}=\frac{7}{s}+\frac{4}{s^{3}},
com região de convergência s>0.

Passo 6

Resumo rápido e encorajamento: o procedimento foi usar a definição integral, explorar a linearidade (somar transformadas) e calcular a transformada de t^{2} por partes duas vezes. Dá para decorar a fórmula geral \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}, que acelera muito a resolução na prova. Vai dar certo — mantenha a calma e treine mais uns exercícios parecidos!

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{7+2t^{2}\}(s)=\frac{7}{s}+\frac{4}{s^{3}},\quad s>0

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