Aplique a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=3 t^{2}.

Passo 1

O que o problema pede: aplicar a definição da transformada de Laplace para encontrar a transformada de f(t)=3 t^{2}.
Informações dadas que vamos usar: a função f(t)=3 t^{2} para t\ge0. Não foi dada outra restrição, então assumimos a definição usual da transformada de Laplace e a condição de convergência correspondente.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace (vamos aprender o que cada coisa significa):
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt,
onde t é a variável temporal (a variável original da função), s é a variável complexa (normalmente \operatorname{Re}(s)>0 para garantir convergência) e e^{-st} é o fator de decaimento que controla a convergência da integral. Nesta definição, é comum puxar constantes para fora da integral.

Passo 3

Aplicando a definição a f(t)=3 t^{2}: puxando a constante 3 para fora,
\mathcal{L}\{3 t^{2}\}(s)=3\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt.
Chamemos
I(s)=\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt,
então \mathcal{L}\{3 t^{2}\}(s)=3I(s). Vamos calcular I(s) usando integração por partes.

Passo 4

Primeira integração por partes para I(s). Escolhemos
u=t^{2},\qquad dv=e^{-s t}\,dt.
Então
du=2t\,dt,\qquad v=-\frac{1}{s}e^{-s t}.
A fórmula de integração por partes dá
I(s)=\left[u v\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty} v\,du.
Substituindo u,v,du,
I(s)=\left[-\frac{t^{2}}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty}+\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt.
Agora analisamos o termo de fronteira: para \operatorname{Re}(s)>0 vale \lim_{t\to\infty} t^{2}e^{-s t}=0 (o exponencial domina o polinômio), e no t=0 o termo é zero; portanto o termo de fronteira é 0. Assim
I(s)=\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt.

Passo 5

Segunda integração por partes para calcular J(s)=\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt. Escolhemos
u=t,\qquad dv=e^{-s t}\,dt,
logo
du=dt,\qquad v=-\frac{1}{s}e^{-s t}.
Aplicando integração por partes:
J(s)=\left[-\frac{t}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
O termo de fronteira novamente vale 0 quando \operatorname{Re}(s)>0. A integral restante é uma integral exponencial elementar:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s}.
Portanto
J(s)=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.

Passo 6

Voltar a I(s): como I(s)=\dfrac{2}{s}J(s) e J(s)=\dfrac{1}{s^{2}}, temos
I(s)=\frac{2}{s}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{2}{s^{3}}.
Finalmente,
\mathcal{L}\{3 t^{2}\}(s)=3I(s)=3\cdot\frac{2}{s^{3}}=\frac{6}{s^{3}}.
Condição de convergência: todas as etapas usaram que \operatorname{Re}(s)>0 para garantir que os termos de fronteira nulos e as integrais convergem.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{3 t^{2}\}(s)=\frac{6}{s^{3}},\quad \operatorname{Re}(s)>0

Exercícios relacionados