Aplique a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
.
Passo 1
O que o problema pede: aplicar a definição da transformada de Laplace para encontrar a transformada de
.
Informações dadas que vamos usar: a função para
. Não foi dada outra restrição, então assumimos a definição usual da transformada de Laplace e a condição de convergência correspondente.
Informações dadas que vamos usar: a função
Passo 2
Definição da transformada de Laplace (vamos aprender o que cada coisa significa):
A transformada de Laplace de uma função é definida por
A transformada de Laplace de uma função
onde
é a variável temporal (a variável original da função),
é a variável complexa (normalmente
para garantir convergência) e
é o fator de decaimento que controla a convergência da integral. Nesta definição, é comum puxar constantes para fora da integral.
Passo 3
Aplicando a definição a
: puxando a constante
para fora,
Chamemos
então
. Vamos calcular
usando integração por partes.
Passo 4
Primeira integração por partes para
. Escolhemos
Então
A fórmula de integração por partes dá
Substituindo
,
Agora analisamos o termo de fronteira: para
vale
(o exponencial domina o polinômio), e no
o termo é zero; portanto o termo de fronteira é
. Assim
Passo 5
Segunda integração por partes para calcular
. Escolhemos
logo
Aplicando integração por partes:
O termo de fronteira novamente vale
quando
. A integral restante é uma integral exponencial elementar:
Portanto
Passo 6
Voltar a
: como
e
, temos
Finalmente,
Condição de convergência: todas as etapas usaram que
para garantir que os termos de fronteira nulos e as integrais convergem.