Aplique a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=7+2 t.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar a definição e encontrar a transformada de Laplace da função f(t)=7+2t.
Informações dadas:
  • A função é f(t)=7+2t definida para t\ge0.
  • Deve-se usar a definição da transformada de Laplace (aplicar a definição diretamente).

Passo 2

Definição (o que vamos aplicar): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt,
onde t é a variável do tempo (domínio original) e s é a variável complexa da transformada. Para que essa integral converja, geralmente precisamos de \operatorname{Re}(s)>0 para funções polinomiais multiplicadas por expoentes decrescentes (como aqui). Vou aplicar essa definição term-by-term em f(t).

Passo 3

Usando linearidade da transformada: a transformada de uma soma é a soma das transformadas, e constantes podem sair da integral. Assim
\mathcal{L}\{7+2t\}(s)=\mathcal{L}\{7\}(s)+\mathcal{L}\{2t\}(s).
Vou calcular cada termo separadamente.

Passo 4

Cálculo de \mathcal{L}\{7\}(s):
\mathcal{L}\{7\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cdot 7\,dt =7\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
Integramos a exponencial (com s tratado como constante):
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}.
Para \operatorname{Re}(s)>0 tem-se e^{-st}\to0 quando t\to\infty, então
\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}=0-\left(-\frac{1}{s}\right)=\frac{1}{s}.
Logo
\mathcal{L}\{7\}(s)=7\cdot\frac{1}{s}=\frac{7}{s},\qquad \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 5

Cálculo de \mathcal{L}\{2t\}(s). Primeiro calculo \mathcal{L}\{t\}(s) por integração por partes.
Considere
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt.
Escolho u=t (então du=dt) e dv=e^{-st}\,dt (então v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}). Aplicando integração por partes:
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt = \left.uv\right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} v\,du.
Compute os termos:
\left.uv\right|_{0}^{\infty}=\left. -\frac{t}{s}e^{-st}\right|_{0}^{\infty}=0-0=0
porque, para \operatorname{Re}(s)>0, tem-se t e^{-st}\to0 quando t\to\infty, e no t=0 o produto é zero. O segundo termo:
- \int_{0}^{\infty} v\,du = -\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)dt = \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
Já calculamos \int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=\dfrac{1}{s}. Assim
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt = \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.
Portanto
\mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}},\qquad \operatorname{Re}(s)>0.
Multiplicando por 2,
\mathcal{L}\{2t\}(s)=2\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{2}{s^{2}}.

Passo 6

Somando os dois resultados (pela linearidade):
\mathcal{L}\{7+2t\}(s)=\frac{7}{s}+\frac{2}{s^{2}},\qquad \operatorname{Re}(s)>0.
Observação rápida (fórmula útil): de modo geral \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}} para n inteiro não negativo, o que aqui com n=1 \mathcal{L}\{t\}=1/s^{2}, confirmando o cálculo.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{7+2t\}(s)=\frac{7}{s}+\frac{2}{s^{2}},\quad \operatorname{Re}(s)>0

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