Aplique a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=2 t.

Passo 1

O enunciado pede: aplicar a definição da transformada de Laplace e encontrar a transformada da função f(t)=2t.
Informações dadas e hipóteses implícitas:
  • A função é f(t)=2t para t\ge0.
  • Quer-se \mathcal{L}\{f\}(s), ou seja, a integral de Laplace definida por s (parâmetro real positivo, a ser verificado para convergência).

Passo 2

Escrever a definição da transformada de Laplace e explicar o que cada símbolo significa.
A definição é:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt.
Aqui:
  • t é a variável de integração (tempo, t\ge0);
  • s é o parâmetro complexo/real da transformada (vamos trabalhar com s>0 para garantir convergência);
  • e^{-s t} é o fator exponencial que, para s>0, faz a integral convergir mesmo que f(t) cresça polinomialmente.

Passo 3

Substituir f(t)=2t na definição e extrair constantes.
\mathcal{L}\{2t\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,(2t)\,dt = 2\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt.
Explicação: a constante 2 pode sair da integral.

Passo 4

Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt usando integração por partes.
Recordando a fórmula da integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolher u=t e dv=e^{-s t}dt. Então
du = dt,\qquad v = \int e^{-s t}dt = -\frac{1}{s}e^{-s t}.
Aplicando por partes em [0,\infty):
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt = \left. -\frac{t}{s}e^{-s t}\right|_{0}^{\infty} + \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
Expliquei: o termo u v é -\dfrac{t}{s}e^{-s t} avaliado nos limites, e o sinal se inverte para o integral remanescente porque du=dt.

Passo 5

Avaliar os termos de contorno e o integral restante.
Primeiro, o limite quando t\to\infty do termo \dfrac{t}{s}e^{-s t}:
\lim_{t\to\infty} \frac{t}{s}e^{-s t} = \frac{1}{s}\lim_{t\to\infty}\frac{t}{e^{s t}} = 0\quad\text{para }s>0.
Justificativa rápida: a exponencial e^{s t} cresce muito mais rápido que o polinômio t; por L’Hôpital,
\lim_{t\to\infty}\frac{t}{e^{s t}}=\lim_{t\to\infty}\frac{1}{s e^{s t}}=0.
No limite inferior t=0 temos -\dfrac{t}{s}e^{-s t}\big|_{t=0}=0. Portanto o termo de contorno total é 0-0=0.
Agora o integral restante:
\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt = \frac{1}{s}\left[\left.-\frac{1}{s}e^{-s t}\right|_{0}^{\infty}\right] = \frac{1}{s}\left(0 -\left(-\frac{1}{s}\right)\right)=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.
Portanto
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt = \frac{1}{s^{2}}\quad\text{para }s>0.

Passo 6

Retornar ao resultado com o fator 2 que estava fora da integral.
\mathcal{L}\{2t\}(s)=2\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt = 2\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{2}{s^{2}},
válido para s>0.

Passo 7

Comentário didático curto e alternativa: existe a fórmula geral \mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\dfrac{n!}{s^{n+1}} para inteiro n\ge0. Aplicando com n=1 obtém-se \mathcal{L}\{t\}(s)=1/s^{2}, e multiplicando por 2 chega-se ao mesmo resultado \dfrac{2}{s^{2}}. Isso confirma o cálculo pela definição.

Resposta

\mathcal{L}\{2t\}(s)=\dfrac{2}{s^{2}},\quad s>0

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