Aplique duas iterações do método de Picard ao PVI:
usando:
Em seguida:
a) obtenha
;
b) obtenha
;
c) compare os resultados e interprete a aproximação obtida.
a) obtenha
b) obtenha
c) compare os resultados e interprete a aproximação obtida.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
- Enunciado: resolver por duas iterações do método de Picard o problema de valor inicial (PVI)
usando a aproximação inicial dada
- Perguntas pedidas:
a) obter;
b) obter;
c) comparar os resultados e interpretar a aproximação obtida.
Informações relevantes dadas: a equação diferencial (o lado direito é a função
), a condição inicial
e o chute inicial
. A partir daqui vamos aplicar o procedimento de Picard.
Passo 2
O que é o método de Picard e qual fórmula usar (explicação didática).
-
Ideia intuitiva: o método de Picard constrói sucessivas aproximações
da solução do PVI usando integrais. Começa com um chute e gera de forma que cada corrige o anterior computando a integral do lado direito da EDO com substituído. -
Fórmula do método de Picard (para o PVI com condição em
):
onde
é o lado direito da EDO e
é a condição inicial. Aqui:
Explicando as partes da fórmula:
-
é o valor inicial dado (aqui ). -
é a acumulação (área) do termo usando a aproximação no lugar da solução verdadeira; isso “corrige” o chute anterior. - Cada iteração tende a aproximar melhor a solução real (sob condições de regularidade a sucessão converge para a solução).
Agora aplicamos a fórmula com
.
Passo 3
Cálculo de
passo a passo.
Usando a fórmula de Picard com
:
Substituindo
e
e
:
Logo
Agora integramos
entre
e
. Lembre-se da antiderivada: antiderivada de
é
e de
é
. Assim
Portanto
Passo 4
Cálculo de
passo a passo.
Aplicamos novamente a fórmula de Picard com
:
Já temos
. Substituindo em
:
Somando termos semelhantes:
Agora integramos de
a
:
Adicionando
, obtemos
Passo 5
Comparação com a solução exata e interpretação da aproximação (aula rápida e intuitiva).
- Primeiro, é útil conhecer a solução exata para comparar. A EDO é linear de primeira ordem
. Resolvendo rapidamente (método do fator integrante):
Fator integrante:
. Multiplicando a equação por
obtemos
Integrando de
a
,
Calcule a integral por partes:
. Assim
Voltando à condição inicial
para achar
:
Logo
- Expandindo
em série de Taylor em torno de (para comparar com os polinômios obtidos):
então
-
Agora compare com as iterações de Picard:
-
(apenas ordem zero). -
. Comparando com a série exata , nota-se que os termos até coincidem, mas o coeficiente de em é enquanto na solução exata é . -
. Aqui os coeficientes dos termos até coincidem com a série exata (coeficiente de é em ambos). O coeficiente de em é , enquanto na solução exata é .
-
-
Interpretação intuitiva e geral:
- Cada iteração de Picard melhora a aproximação; as aproximações obtidas são polinômios que concordam com os termos iniciais da série de Taylor da solução exata até uma certa ordem.
- No caso concreto,
produz um polinômio de grau crescente e já recuperou corretamente os termos até . Em geral, a -ésima iteração tende a acertar os termos de ordem baixa da série da solução até uma certa ordem (a precisão local em torno de melhora com ). - Assim,
é uma aproximação razoável para pequeno; é ainda melhor: coincide com a solução exata até e dá uma estimativa para o termo . Conforme se fizerem mais iterações, as aproximações convergem (sob hipóteses padrão) para .
Resposta
a)
b)
c) As aproximações e
são polinômios que se aproximam da solução exata
;
coincide com os termos até ordem
da série de Taylor da solução, e
coincide até ordem
, ou seja, cada iteração melhora a aproximação local em torno de
.
b)
c) As aproximações