Aplique duas iterações do método de Picard ao PVI:
y^{\prime}=x+y, y(0)=1
usando:
y_{0}(x)=1
Em seguida:
a) obtenha y_{1}(x);
b) obtenha y_{2}(x);
c) compare os resultados e interprete a aproximação obtida.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
  • Enunciado: resolver por duas iterações do método de Picard o problema de valor inicial (PVI)
y'(x)=x+y(x),\qquad y(0)=1,
usando a aproximação inicial dada
y_{0}(x)=1.
  • Perguntas pedidas:
    a) obter y_{1}(x);
    b) obter y_{2}(x);
    c) comparar os resultados e interpretar a aproximação obtida.
Informações relevantes dadas: a equação diferencial (o lado direito é a função f(x,y)=x+y), a condição inicial y(0)=1 e o chute inicial y_{0}(x)=1. A partir daqui vamos aplicar o procedimento de Picard.

Passo 2

O que é o método de Picard e qual fórmula usar (explicação didática).
  • Ideia intuitiva: o método de Picard constrói sucessivas aproximações y_{n} da solução do PVI usando integrais. Começa com um chute y_{0} e gera y_{1},y_{2},\dots de forma que cada y_{n+1} corrige o anterior computando a integral do lado direito da EDO com y_{n} substituído.
  • Fórmula do método de Picard (para o PVI com condição em x=0):
y_{n+1}(x)=y(0)+\int_{0}^{x} f\big(t,y_{n}(t)\big)\,dt,
onde f(t,y) é o lado direito da EDO e y(0) é a condição inicial. Aqui:
f(t,y)=t+y.
Explicando as partes da fórmula:
  • y(0) é o valor inicial dado (aqui 1).
  • \int_{0}^{x} f(t,y_{n}(t))\,dt é a acumulação (área) do termo f usando a aproximação y_{n} no lugar da solução verdadeira; isso “corrige” o chute anterior.
  • Cada iteração tende a aproximar melhor a solução real (sob condições de regularidade a sucessão converge para a solução).
Agora aplicamos a fórmula com y_{0}(t)=1.

Passo 3

Cálculo de y_{1}(x) passo a passo.
Usando a fórmula de Picard com n=0:
y_{1}(x)=y(0)+\int_{0}^{x} f\big(t,y_{0}(t)\big)\,dt.
Substituindo y(0)=1 e y_{0}(t)=1 e f(t,y)=t+y:
f\big(t,y_{0}(t)\big)=t+y_{0}(t)=t+1.
Logo
y_{1}(x)=1+\int_{0}^{x} (t+1)\,dt.
Agora integramos t+1 entre 0 e x. Lembre-se da antiderivada: antiderivada de t é \tfrac{t^{2}}{2} e de 1 é t. Assim
\int_{0}^{x} (t+1)\,dt = \left[\tfrac{t^{2}}{2}+t\right]_{0}^{x} = \tfrac{x^{2}}{2}+x.
Portanto
y_{1}(x)=1+\left(\tfrac{x^{2}}{2}+x\right)=1+x+\tfrac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Cálculo de y_{2}(x) passo a passo.
Aplicamos novamente a fórmula de Picard com n=1:
y_{2}(x)=y(0)+\int_{0}^{x} f\big(t,y_{1}(t)\big)\,dt.
Já temos y_{1}(t)=1+t+\tfrac{t^{2}}{2}. Substituindo em f:
f\big(t,y_{1}(t)\big)=t+y_{1}(t)=t+\big(1+t+\tfrac{t^{2}}{2}\big).
Somando termos semelhantes:
f\big(t,y_{1}(t)\big)=1+2t+\tfrac{t^{2}}{2}.
Agora integramos de 0 a x:
\int_{0}^{x}\big(1+2t+\tfrac{t^{2}}{2}\big)\,dt = \left[t + t^{2} + \tfrac{t^{3}}{6}\right]_{0}^{x} = x + x^{2} + \tfrac{x^{3}}{6}.
Adicionando y(0)=1, obtemos
y_{2}(x)=1+\big(x + x^{2} + \tfrac{x^{3}}{6}\big)=1+x+x^{2}+\tfrac{x^{3}}{6}.

Passo 5

Comparação com a solução exata e interpretação da aproximação (aula rápida e intuitiva).
  • Primeiro, é útil conhecer a solução exata para comparar. A EDO é linear de primeira ordem y'-y=x. Resolvendo rapidamente (método do fator integrante):
Fator integrante: e^{-x}. Multiplicando a equação por e^{-x} obtemos
\big(y e^{-x}\big)' = x e^{-x}.
Integrando de 0 a x,
y(x)e^{-x}-y(0)e^{0} = \int_{0}^{x} t e^{-t}\,dt.
Calcule a integral por partes: \int t e^{-t}\,dt = -t e^{-t}-e^{-t}+C. Assim
y(x)e^{-x} = -x e^{-x} - e^{-x} + C.
Voltando à condição inicial y(0)=1 para achar C:
1 = -0 -1 + C \implies C=2.
Logo
y(x)= -x -1 + 2e^{x} = 2e^{x}-x-1.
  • Expandindo y(x) em série de Taylor em torno de x=0 (para comparar com os polinômios obtidos):
e^{x}=1+x+\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x^{3}}{6}+\tfrac{x^{4}}{24}+\cdots,
então
y(x)=2\Big(1+x+\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x^{3}}{6}+\cdots\Big)-x-1 =1+x+x^{2}+\tfrac{x^{3}}{3}+\cdots.
  • Agora compare com as iterações de Picard:
    • y_{0}(x)=1 (apenas ordem zero).
    • y_{1}(x)=1+x+\tfrac{x^{2}}{2}. Comparando com a série exata 1+x+x^{2}+\tfrac{x^{3}}{3}+\cdots, nota-se que os termos até x^{1} coincidem, mas o coeficiente de x^{2} em y_{1} é \tfrac{1}{2} enquanto na solução exata é 1.
    • y_{2}(x)=1+x+x^{2}+\tfrac{x^{3}}{6}. Aqui os coeficientes dos termos até x^{2} coincidem com a série exata (coeficiente de x^{2} é 1 em ambos). O coeficiente de x^{3} em y_{2} é \tfrac{1}{6}, enquanto na solução exata é \tfrac{1}{3}.
  • Interpretação intuitiva e geral:
    • Cada iteração de Picard melhora a aproximação; as aproximações obtidas são polinômios que concordam com os termos iniciais da série de Taylor da solução exata até uma certa ordem.
    • No caso concreto, y_{n} produz um polinômio de grau crescente e y_{2} já recuperou corretamente os termos até x^{2}. Em geral, a n-ésima iteração tende a acertar os termos de ordem baixa da série da solução até uma certa ordem (a precisão local em torno de x=0 melhora com n).
    • Assim, y_{1} é uma aproximação razoável para x pequeno; y_{2} é ainda melhor: coincide com a solução exata até x^{2} e dá uma estimativa para o termo x^{3}. Conforme se fizerem mais iterações, as aproximações convergem (sob hipóteses padrão) para y(x)=2e^{x}-x-1.

Resposta

a) y_{1}(x)=1+x+\tfrac{x^{2}}{2}
b) y_{2}(x)=1+x+x^{2}+\tfrac{x^{3}}{6}
c) As aproximações y_{1} e y_{2} são polinômios que se aproximam da solução exata y(x)=2e^{x}-x-1; y_{1} coincide com os termos até ordem 1 da série de Taylor da solução, e y_{2} coincide até ordem 2, ou seja, cada iteração melhora a aproximação local em torno de x=0.

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