Determine os extremos absolutos da função
nos intervalos definidos
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no domínio
(ou seja, todos os números reais). A pergunta é: determinar os extremos absolutos da função neste domínio (se existem pontos de mínimo e/ou máximo absoluto e quais são).
Informações fornecidas:
- Função:
. - Domínio:
.
O que é pedido:
- Identificar se existem extremos absolutos (mínimo e/ou máximo) e informar onde ocorrem e quais são os valores.
Passo 2
Vamos procurar pontos candidatos a extremos. Uma maneira padrão e simples é achar os pontos críticos da função, isto é, pontos onde a derivada é zero ou não existe. Aqui a função é polinomial (suave em toda parte), então a derivada existe para todo
e só precisamos resolver
.
Breve explicação da derivada (do zero): a derivada de uma função em um ponto mede a inclinação da reta tangente naquele ponto — geometricamente, é a taxa de variação instantânea. Para potências de
existe a regra prática chamada regra do poder: a derivada de
é
. Aplicando essa regra a
obtemos a derivada.
Calculemos a derivada:
Passo 3
Encontrar pontos críticos resolvendo
:
Portanto existe um único ponto crítico:
. Como o domínio é todo
, não há extremos possíveis nos “extremos do intervalo” (porque não há extremos; os extremos do domínio são infinitos), então só precisamos analisar o ponto crítico
.
Passo 4
Classificação do ponto crítico pelo teste da segunda derivada. Primeiro calcule a segunda derivada:
Aqui
. Regra do teste da segunda derivada: se
então
tem mínimo local em
; se
tem máximo local; se
o teste é inconclusivo.
Como
,
é um ponto de mínimo local. Agora vamos ver se é também mínimo absoluto.
Passo 5
Mostrar que o mínimo local em
é, na verdade, mínimo absoluto. Observação simples e direta baseada na forma da função:
para todo vale
para todo
e a igualdade
ocorre apenas em
. Isso prova que nenhum valor de
é menor que
, e que
é atingido. Assim
é o menor valor que a função assume em todo o domínio, i.e., é mínimo absoluto.
(Exemplo numérico rápido para intuir:
,
,
; todos são maiores que
.)
Passo 6
Mostrar que não existe máximo absoluto. Para demonstrar que não há maior valor que a função atinge, note que à medida que
cresce,
cresce sem limite. Formalmente:
Isto significa que para qualquer número real
existe
tal que
(por exemplo, tomar
dá
). Portanto a função não é limitada superiormente e não possui máximo absoluto no domínio
.
Passo 7
Resumo final do raciocínio:
- Há um único ponto crítico
. - A segunda derivada é positiva ali, portanto mínimo local.
- Como
para todo e somente em , esse mínimo é absoluto. - Não existe máximo absoluto porque
tende a quando .
Resposta
Valor mínimo absoluto:
atingido em
.
Não existe máximo absoluto.
Não existe máximo absoluto.