Determine os extremos absolutos da função y=x^{2} nos intervalos definidos
D=(-\infty, \infty)

Passo 1

O enunciado dá a função y=x^{2} definida no domínio D=(-\infty,\infty) (ou seja, todos os números reais). A pergunta é: determinar os extremos absolutos da função neste domínio (se existem pontos de mínimo e/ou máximo absoluto e quais são).
Informações fornecidas:
  • Função: y=x^{2}.
  • Domínio: D=\mathbb{R}=( -\infty,\infty ).
O que é pedido:
  • Identificar se existem extremos absolutos (mínimo e/ou máximo) e informar onde ocorrem e quais são os valores.

Passo 2

Vamos procurar pontos candidatos a extremos. Uma maneira padrão e simples é achar os pontos críticos da função, isto é, pontos onde a derivada é zero ou não existe. Aqui a função é polinomial (suave em toda parte), então a derivada existe para todo x e só precisamos resolver y'=0.
Breve explicação da derivada (do zero): a derivada de uma função em um ponto mede a inclinação da reta tangente naquele ponto — geometricamente, é a taxa de variação instantânea. Para potências de x existe a regra prática chamada regra do poder: a derivada de \,x^{n}\, é \,n x^{n-1}\,. Aplicando essa regra a x^{2} obtemos a derivada.
Calculemos a derivada:
y = x^{2}
y' = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.

Passo 3

Encontrar pontos críticos resolvendo y'=0:
2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Portanto existe um único ponto crítico: x=0. Como o domínio é todo \mathbb{R}, não há extremos possíveis nos “extremos do intervalo” (porque não há extremos; os extremos do domínio são infinitos), então só precisamos analisar o ponto crítico x=0.

Passo 4

Classificação do ponto crítico pelo teste da segunda derivada. Primeiro calcule a segunda derivada:
y''=\frac{d}{dx}(2x)=2.
Aqui y''(0)=2>0. Regra do teste da segunda derivada: se y''(x_{0})>0 então f tem mínimo local em x_{0}; se y''(x_{0})<0 tem máximo local; se y''(x_{0})=0 o teste é inconclusivo.
Como y''(0)=2>0, x=0 é um ponto de mínimo local. Agora vamos ver se é também mínimo absoluto.

Passo 5

Mostrar que o mínimo local em x=0 é, na verdade, mínimo absoluto. Observação simples e direta baseada na forma da função:
para todo x\in\mathbb{R} vale
x^{2}\ge 0,
e a igualdade x^{2}=0 ocorre apenas em x=0. Isso prova que nenhum valor de y é menor que 0, e que y(0)=0 é atingido. Assim y(0)=0 é o menor valor que a função assume em todo o domínio, i.e., é mínimo absoluto.
(Exemplo numérico rápido para intuir: y(1)=1, y(-1)=1, y(2)=4; todos são maiores que 0.)

Passo 6

Mostrar que não existe máximo absoluto. Para demonstrar que não há maior valor que a função atinge, note que à medida que |x| cresce, x^{2} cresce sem limite. Formalmente:
\lim_{x\to\pm\infty} x^{2}=+\infty.
Isto significa que para qualquer número real M existe x tal que x^{2}>M (por exemplo, tomar x=\sqrt{M+1} x^{2}=M+1>M). Portanto a função não é limitada superiormente e não possui máximo absoluto no domínio \mathbb{R}.

Passo 7

Resumo final do raciocínio:
  • Há um único ponto crítico x=0.
  • A segunda derivada é positiva ali, portanto mínimo local.
  • Como x^{2}\ge 0 para todo x e x^{2}=0 somente em x=0, esse mínimo é absoluto.
  • Não existe máximo absoluto porque x^{2} tende a +\infty quando |x|\to\infty.

Resposta

Valor mínimo absoluto: y_{\min}=0 atingido em x=0.
Não existe máximo absoluto.

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