I=\oint_{\mathcal{C}} 2\left(x^{2}+y^{2}\right) d x+(x+y)^{2} d y
onde \mathcal{C} é o perímetro do triângulo, percorrido no sentido anti-horário, cujos vértices são os pontos A=(1,1), B=(2,2) e C=(1,3). Verifique o resultado calculando a integral diretamente.
onde \mathcal{C} é o perímetro do triângulo percorrido no sentido anti-horário, com vértices A=(1,1), B=(2,2) e C=(1,3).
Informações relevantes dadas:
A forma integranda corresponde a uma forma diferencial com P(x,y)=2\left(x^{2}+y^{2}\right) e Q(x,y)=(x+y)^{2}.
O contorno \mathcal{C} é fechado e orientado no sentido anti-horário (sentido positivo).
Os vértices do triângulo são (1,1), (2,2) e (1,3). Vou usar explicitamente essas coordenadas para descrever as arestas e a região D interior ao triângulo.
A primeira parte da tarefa: aplicar a fórmula de Green para calcular I. A segunda parte: verificar o resultado calculando a integral de linha diretamente ao longo das três arestas.
Passo 2
Apresentação da fórmula de Green (aula rápida): para uma região planar D com contorno suave \mathcal{C}=\partial D orientado positivamente (anti-horário), se P e Q têm derivadas parciais contínuas em D então
Descrição da região D (usei as coordenadas dos vértices do enunciado):
A aresta AB liga (1,1) a (2,2). Essa reta tem equação y=x.
A aresta BC liga (2,2) a (1,3). A inclinação é \frac{3-2}{1-2}=-1, passando por (2,2) dá y=-x+4.
A aresta CA é a vertical entre (1,3) e (1,1), tem equação x=1.
Assim a região triangular D pode ser descrita como
1\le x\le 2,\qquad x\le y\le -x+4.
Explicação rápida: para cada x entre 1 e 2 a ordenada y varia entre a reta inferior y=x (aresta AB) e a reta superior y=-x+4 (aresta BC). No x=1 temos y\in[1,3]; no x=2 as retas se encontram em y=2.
Passo 5
Aplicando Green: transformamos a integral de linha em duplo integral
I=\iint_{D} 2(x-y)\,dA.
Agora calculo por integração iterada com as limites do passo anterior:
Portanto, pela fórmula de Green obtemos I=-\dfrac{4}{3}.
Passo 6
Verificação calculando a integral diretamente (integral de linha ao longo das três arestas, sentido anti-horário). Vou parametrizar cada aresta e somar as contribuições.
Defino P(x,y)=2(x^{2}+y^{2}) e Q(x,y)=(x+y)^{2}.
Aresta AB: de (1,1) a (2,2). Parametrização x=t,\;y=t,\;t\in[1,2]. Então dx=dt,\;dy=dt. Substituindo: