Calcule
\int_{\mathcal{C}} y d x-x d y
onde \mathcal{C} é a elipse x=a \cos t e y=b \operatorname{sen} t.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{\mathcal{C}} y\,dx - x\,dy
onde a curva \mathcal{C} é a elipse dada parametricamente por
x = a\cos t,\qquad y = b\operatorname{sen} t.
Informações relevantes dadas:
x(t)=a\cos t,\quad y(t)=b\operatorname{sen} t
e implicitamente percorremos a elipse uma vez completa, portanto usamos o intervalo
t\in[0,2\pi].
Não inventarei nada além disso: a tarefa é avaliar a integral de linha ao longo dessa curva fechada.

Passo 2

Vamos usar a parametrização para transformar a integral de linha em uma integral em t. Primeiro calculamos dx e dy em função de dt.
Derivando x(t) e y(t) em relação a t obtemos:
\frac{dx}{dt} = -a\sin t,\qquad \frac{dy}{dt} = b\cos t.
Explicando rapidinho: derivada de \cos t é -\sin t e derivada de \sin t é \cos t. As constantes a e b saem como fatores.
Portanto,
dx = \frac{dx}{dt}\,dt = -a\sin t\,dt,\qquad dy = \frac{dy}{dt}\,dt = b\cos t\,dt.

Passo 3

Substituímos x, y, dx, dy na integral original. A integral em t fica:
\int_{0}^{2\pi} \bigl(y(t)\,x'(t) - x(t)\,y'(t)\bigr)\,dt.
Agora plugando as expressões:
y(t)\,dx - x(t)\,dy = \bigl(b\sin t\bigr)\bigl(-a\sin t\,dt\bigr) - \bigl(a\cos t\bigr)\bigl(b\cos t\,dt\bigr).

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro da integral. Multiplicando termos:
\bigl(b\sin t\bigr)\bigl(-a\sin t\bigr) = -ab\sin^2 t,
\bigl(a\cos t\bigr)\bigl(b\cos t\bigr) = ab\cos^2 t.
Logo,
y\,dx - x\,dy = \bigl(-ab\sin^2 t - ab\cos^2 t\bigr)\,dt = -ab\bigl(\sin^2 t + \cos^2 t\bigr)\,dt.
Aqui usamos a identidade trigonométrica básica \sin^2 t + \cos^2 t = 1. Essa identidade vale para todo t e é muito útil para simplificar somas de quadrados de seno e cosseno.

Passo 5

Aplicando a identidade \sin^2 t + \cos^2 t = 1 obtemos
y\,dx - x\,dy = -ab\,dt.
Portanto a integral se reduz a:
\int_{0}^{2\pi} -ab\,dt.

Passo 6

Integramos em t. Como -ab é constante em relação a t,
\int_{0}^{2\pi} -ab\,dt = -ab\int_{0}^{2\pi} dt = -ab\bigl[ t \bigr]_{0}^{2\pi} = -ab(2\pi - 0) = -2\pi ab.

Passo 7

(Faixa extra — interpretação via Teorema de Green, útil para entender o resultado)
Uma forma alternativa e conceitual: pelo Teorema de Green, para uma curva simples, fechada e orientada positivamente, temos
\oint_{\mathcal{C}} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA,
onde D é a região interior à curva. Tomando P=y e Q=-x (pois integrando y\,dx - x\,dy), calculamos
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial(-x)}{\partial x} - \frac{\partial(y)}{\partial y} = -1 - 1 = -2.
Logo
\oint_{\mathcal{C}} y\,dx - x\,dy = \iint_{D} (-2)\,dA = -2\cdot \text{Area}(D).
A área da elipse de semi-eixos a e b é \pi ab, então obtemos novamente -2\pi ab. Isso confirma o cálculo paramétrico e dá uma intuição geométrica: o integral mede (com sinal) duas vezes a área interna.

Resposta

-2\pi a b

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