Calcule
onde
é a elipse
e
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde a curva
é a elipse dada parametricamente por
Informações relevantes dadas:
e implicitamente percorremos a elipse uma vez completa, portanto usamos o intervalo
Não inventarei nada além disso: a tarefa é avaliar a integral de linha ao longo dessa curva fechada.
Passo 2
Vamos usar a parametrização para transformar a integral de linha em uma integral em
. Primeiro calculamos
e
em função de
.
Derivando
e
em relação a
obtemos:
Explicando rapidinho: derivada de
é
e derivada de
é
. As constantes
e
saem como fatores.
Portanto,
Passo 3
Substituímos
,
,
,
na integral original. A integral em
fica:
Agora plugando as expressões:
Passo 4
Simplificamos a expressão dentro da integral. Multiplicando termos:
Logo,
Aqui usamos a identidade trigonométrica básica
. Essa identidade vale para todo
e é muito útil para simplificar somas de quadrados de seno e cosseno.
Passo 5
Aplicando a identidade
obtemos
Portanto a integral se reduz a:
Passo 6
Integramos em
. Como
é constante em relação a
,
Passo 7
(Faixa extra — interpretação via Teorema de Green, útil para entender o resultado)
Uma forma alternativa e conceitual: pelo Teorema de Green, para uma curva simples, fechada e orientada positivamente, temos
Uma forma alternativa e conceitual: pelo Teorema de Green, para uma curva simples, fechada e orientada positivamente, temos
onde
é a região interior à curva. Tomando
e
(pois integrando
), calculamos
Logo
A área da elipse de semi-eixos
e
é
, então obtemos novamente
. Isso confirma o cálculo paramétrico e dá uma intuição geométrica: o integral mede (com sinal) duas vezes a área interna.