Seja
a curva
, com
. Calcule
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
com
. Portanto
Nos pedem para calcular a integral de linha
Essas são todas as informações fornecidas; a resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Interpretação do integrando como produto escalar: a forma diferencial
corresponde ao campo vetorial
pois a integral pode ser escrita como
Explico:
são os componentes do vetor
ao parametrizar a curva; então podemos trabalhar com
ou substituir diretamente
e
.
Passo 3
Verificação se
é campo conservativo (útil porque aí a integral depende só dos extremos). Calculamos derivadas parciais:
Como todas as iguais correspondentes coincidem, o rotor (curl) de
é o vetor nulo. O domínio natural de
é
, que é simplesmente conexo; portanto
é conservativo e existe uma função potencial
tal que
. Isso significa que a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos pontos finais, não do caminho.
Passo 4
Encontrar a potencial
. Integrando
em relação a
:
onde
é função desconhecida de
. Agora impomos que
. Calculando
logo
. Isso mostra que
não depende de
; análogomente, usando
daria
. Assim
é constante e podemos escolher
Confirmamos que
.
Passo 5
Aplicar o teorema fundamental para campos conservativos: para uma curva parametrizada de
a
,
Aqui
e
. Calculamos
nos extremos:
Para
:
logo
Para
:
logo
Portanto
Passo 6
(Verificação via substituição direta — para treinar a técnica passo a passo) Calculamos as diferenciais:
Substituindo
,
,
na forma integranda:
Somando,
Usando identidades trigonométricas
e
, obtemos
Então a integral é
Calculando as duas partes: a integral de
de
a
é zero (integração por partes dá termos que se anulam nos extremos) e a integral de
em
também é zero. Logo o resultado é
, confirmando o que obtivemos pelo método do potencial.