Seja C a curva \vec{r}=a \cos t \vec{i}+a \operatorname{sen} t \vec{j}+k t \vec{k}, com 0 \leq t \leq 2 \pi. Calcule
\int_{\mathcal{C}} y z d x+x z d y+x y d z

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\vec{r}(t)=a\cos t\,\vec{i}+a\sin t\,\vec{j}+k t\,\vec{k},
com 0\le t\le 2\pi. Portanto
x(t)=a\cos t,\qquad y(t)=a\sin t,\qquad z(t)=k t.
Nos pedem para calcular a integral de linha
\int_{\mathcal{C}} y z\,dx + x z\,dy + x y\,dz.
Essas são todas as informações fornecidas; a resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Interpretação do integrando como produto escalar: a forma diferencial
y z\,dx + x z\,dy + x y\,dz
corresponde ao campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=(P,Q,R)=(y z,\; x z,\; x y),
pois a integral pode ser escrita como
\int_{\mathcal{C}} \vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{\mathcal{C}} P\,dx+Q\,dy+R\,dz.
Explico: dx,dy,dz são os componentes do vetor d\vec{r} ao parametrizar a curva; então podemos trabalhar com \vec{F}\cdot d\vec{r} ou substituir diretamente x(t),y(t),z(t) e dx,dy,dz.

Passo 3

Verificação se \vec{F} é campo conservativo (útil porque aí a integral depende só dos extremos). Calculamos derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial (yz)}{\partial y}=z,\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial (xz)}{\partial x}=z,
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial (yz)}{\partial z}=y,\qquad \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial (xy)}{\partial x}=y,
\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial (xz)}{\partial z}=x,\qquad \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial (xy)}{\partial y}=x.
Como todas as iguais correspondentes coincidem, o rotor (curl) de \vec{F} é o vetor nulo. O domínio natural de \vec{F} é \mathbb{R}^3, que é simplesmente conexo; portanto \vec{F} é conservativo e existe uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\vec{F}. Isso significa que a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos pontos finais, não do caminho.

Passo 4

Encontrar a potencial \varphi. Integrando P=yz em relação a x:
\varphi(x,y,z)=\int yz\,dx = xyz + g(y,z),
onde g é função desconhecida de y,z. Agora impomos que \partial\varphi/\partial y = Q = xz. Calculando
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=xz + \frac{\partial g}{\partial y},
logo \frac{\partial g}{\partial y}=0. Isso mostra que g não depende de y; análogomente, usando \partial\varphi/\partial z=R daria \partial g/\partial z=0. Assim g é constante e podemos escolher
\varphi(x,y,z)=xyz.
Confirmamos que \nabla\varphi=(yz,xz,xy)=\vec{F}.

Passo 5

Aplicar o teorema fundamental para campos conservativos: para uma curva parametrizada de t_0 a t_1,
\int_{\mathcal{C}} \vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(\vec{r}(t_1))-\varphi(\vec{r}(t_0)).
Aqui t_0=0 e t_1=2\pi. Calculamos \varphi nos extremos:
Para t=0:
x(0)=a\cos 0=a,\quad y(0)=a\sin 0=0,\quad z(0)=0,
logo
\varphi(\vec{r}(0))=x(0)y(0)z(0)=a\cdot 0\cdot 0=0.
Para t=2\pi:
x(2\pi)=a\cos(2\pi)=a,\quad y(2\pi)=a\sin(2\pi)=0,\quad z(2\pi)=k(2\pi),
logo
\varphi(\vec{r}(2\pi))=x(2\pi)y(2\pi)z(2\pi)=a\cdot 0\cdot (2\pi k)=0.
Portanto
\int_{\mathcal{C}} y z\,dx + x z\,dy + x y\,dz = \varphi(\vec{r}(2\pi))-\varphi(\vec{r}(0))=0-0=0.

Passo 6

(Verificação via substituição direta — para treinar a técnica passo a passo) Calculamos as diferenciais:
dx=-a\sin t\,dt,\qquad dy=a\cos t\,dt,\qquad dz=k\,dt.
Substituindo x=a\cos t, y=a\sin t, z=k t na forma integranda:
y z\,dx = a\sin t\cdot k t\cdot(-a\sin t\,dt) = -a^{2}k\,t\sin^{2}t\,dt,
x z\,dy = a\cos t\cdot k t\cdot(a\cos t\,dt) = a^{2}k\,t\cos^{2}t\,dt,
x y\,dz = a\cos t\cdot a\sin t\cdot k\,dt = a^{2}k\cos t\sin t\,dt.
Somando,
\text{integrando} = a^{2}k\Big(t(\cos^{2}t-\sin^{2}t)+\cos t\sin t\Big)\,dt.
Usando identidades trigonométricas \cos^{2}t-\sin^{2}t=\cos 2t e \cos t\sin t=\tfrac{1}{2}\sin 2t, obtemos
\text{integrando} = a^{2}k\Big(t\cos 2t+\tfrac{1}{2}\sin 2t\Big)\,dt.
Então a integral é
a^{2}k\int_{0}^{2\pi}\Big(t\cos 2t+\tfrac{1}{2}\sin 2t\Big)\,dt.
Calculando as duas partes: a integral de t\cos 2t de 0 a 2\pi é zero (integração por partes dá termos que se anulam nos extremos) e a integral de \sin 2t em [0,2\pi] também é zero. Logo o resultado é 0, confirmando o que obtivemos pelo método do potencial.

Resposta

0

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