Aplique o método de decomposição LU (sem pivotação) à matriz A abaixo e marque a opção que representa as matrizes obtidas.
A=\left[\begin{array}{rrrr}2 & -1 & 3 & 5 \\\\ 4 & -1 & 10 & 8 \\\\ 6 & -3 & 12 & 11 \\\\ 0 & -2 & -5 & 10\end{array}\right]
a. \mathrm{L}=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -2 & -1 & -1\end{array}\right], \mathrm{U}=\left[\begin{array}{rrrr}2 & -1 & 3 & 5 \\\\ 0 & 1 & 4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 3 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0 & -10\end{array}\right]
b. \mathrm{L}=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -2 & 1 & 1\end{array}\right], \mathrm{U}=\left[\begin{array}{rrrr}2 & -1 & 3 & 5 \\\\ 0 & 1 & 4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 3 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0 & -10\end{array}\right]
c. \mathrm{L}=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -2 & 1 & 1\end{array}\right], \mathrm{U}=\left[\begin{array}{rrrr}2 & -1 & 3 & 5 \\\\ 0 & 1 & 4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 3 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 20\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a decomposição LU da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 5\\\\ 4 & -1 & 10 & 8\\\\ 6 & -3 & 12 & 11\\\\ 0 & -2 & -5 & 10 \end{pmatrix}
sem pivotação. Vamos aplicar eliminação de Gauss para obter U (triangular superior) e armazenar os multiplicadores em L.

Passo 2

Usamos o pivô a_{11}=2. Calculamos os multiplicadores para zerar abaixo de a_{11}:
m_{21}=\frac{4}{2}=2,\quad m_{31}=\frac{6}{2}=3,\quad m_{41}=\frac{0}{2}=0.
Armazenamos \ell_{21}=2, \ell_{31}=3, \ell_{41}=0. Atualizamos as linhas de U:
U_2 \leftarrow U_2 - 2\,U_1 = (4,-1,10,8) - 2\,(2,-1,3,5) = (0,1,4,-2),
U_3 \leftarrow U_3 - 3\,U_1 = (6,-3,12,11) - 3\,(2,-1,3,5) = (0,0,3,-4),
U_4 \leftarrow U_4 - 0\cdot U_1 = (0,-2,-5,10).
Agora
U = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 5\\\\ 0 & 1 & 4 & -2\\\\ 0 & 0 & 3 & -4\\\\ 0 & -2 & -5 & 10 \end{pmatrix}.

Passo 3

O pivô na segunda linha é U_{22}=1. Calculamos
m_{32}=\frac{0}{1}=0,\quad m_{42}=\frac{-2}{1}=-2.
Armazenamos \ell_{32}=0, \ell_{42}=-2. Atualizamos a quarta linha de U:
U_4 \leftarrow U_4 - (-2)\,U_2 = (0,-2,-5,10) +2\,(0,1,4,-2) = (0,0,3,6).
Agora
U = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 5\\\\ 0 & 1 & 4 & -2\\\\ 0 & 0 & 3 & -4\\\\ 0 & 0 & 3 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 4

O pivô na terceira linha é U_{33}=3. Calculamos
m_{43}=\frac{3}{3}=1,
armazendo \ell_{43}=1. Atualizamos
U_4 \leftarrow U_4 - 1\cdot U_3 = (0,0,3,6) - (0,0,3,-4) = (0,0,0,10).
A matriz U final é
U = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 5\\\\ 0 & 1 & 4 & -2\\\\ 0 & 0 & 3 & -4\\\\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{pmatrix}.

Passo 5

Reunindo todos os multiplicadores, a matriz L (com 1 na diagonal) é
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 3 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Comparando com as opções, apenas a opção (b) apresenta exatamente essa L e coincide nos três primeiros pivôs de U.

Resposta

b

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