Questão 2. ( 2,5 pontos) Considere a função
f(u, v)=u^{2} v+\frac{2 v^{3}}{3} .
Sabendo que u=u(r, s)=\cos r+\operatorname{sen} s e v=v(r, s)=\ln (r+s), determine as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial r} e \frac{\partial f}{\partial s} no ponto (r, s)=(2,0).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(u,v)=u^{2}v+\frac{2v^{3}}{3}
sujeita às substituições
u(r,s)=\cos r+\sin s, \quad v(r,s)=\ln(r+s),
no ponto (r,s)=(2,0).
O conteúdo principal é a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f em relação a u e v:
\frac{\partial f}{\partial u} =2u\,v, \qquad \frac{\partial f}{\partial v} =u^{2}+2v^{2}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u e v em relação a r e s:
\frac{\partial u}{\partial r} =-\sin r, \quad \frac{\partial u}{\partial s} =\cos s, \quad \frac{\partial v}{\partial r} =\frac{1}{r+s}, \quad \frac{\partial v}{\partial s} =\frac{1}{r+s}.

Passo 4

Aplicar a Regra da Cadeia:
\frac{\partial f}{\partial r} =\frac{\partial f}{\partial u}\,\frac{\partial u}{\partial r} +\frac{\partial f}{\partial v}\,\frac{\partial v}{\partial r}, \quad \frac{\partial f}{\partial s} =\frac{\partial f}{\partial u}\,\frac{\partial u}{\partial s} +\frac{\partial f}{\partial v}\,\frac{\partial v}{\partial s}.

Passo 5

Avaliar tudo em (r,s)=(2,0). Primeiro,
u(2,0)=\cos2+\sin0=\cos2, \quad v(2,0)=\ln(2+0)=\ln2, \quad r+s=2.
Então
\frac{\partial f}{\partial r}(2,0) =2u\,v\bigl(-\sin r\bigr)+\bigl(u^{2}+2v^{2}\bigr)\frac{1}{r+s} =-2\cos2\,\ln2\,\sin2 +\frac{\cos^{2}2+2(\ln2)^{2}}{2},
\frac{\partial f}{\partial s}(2,0) =2u\,v\bigl(\cos s\bigr)+\bigl(u^{2}+2v^{2}\bigr)\frac{1}{r+s} =2\cos2\,\ln2 +\frac{\cos^{2}2+2(\ln2)^{2}}{2}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial r}(2,0) =-2\cos2\,\ln2\,\sin2 +\frac{\cos^{2}2+2(\ln2)^{2}}{2},
\frac{\partial f}{\partial s}(2,0) =2\cos2\,\ln2 +\frac{\cos^{2}2+2(\ln2)^{2}}{2}.

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