Questão 1. ( \mathbf{2 , 0} pontos) Determine se o limites existem ou não e calcule os valores no caso de existirem:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-x y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 - x y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}
Este é um problema de limites em duas variáveis que envolve indeterminação do tipo 0/0. Vamos usar fatoração para simplificar a expressão e retirar a raiz do denominador.

Passo 2

Observe o domínio natural da função: como há \sqrt{x} e \sqrt{y}, precisamos de x\ge0 e y\ge0. Além disso a expressão não está definida quando \sqrt{x}=\sqrt{y} (denominador zero), mas para o limite só interessam pontos que se aproximem de (0,0), não exatamente onde x=y.

Passo 3

Fatore o numerador. Note que
x^2 - x y \;=\; x\,(x - y).
E lembre que
x - y = \bigl(\sqrt{x}-\sqrt{y}\bigr)\,\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{y}\bigr).
Logo
x^2 - x y = x\,(\sqrt{x}-\sqrt{y})\,(\sqrt{x}+\sqrt{y}).

Passo 4

Substituindo no quociente e cancelando \sqrt{x}-\sqrt{y}, fica
\frac{x^2 - x y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = \frac{x\,(\sqrt{x}-\sqrt{y})\,(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = x\,\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{y}\bigr).

Passo 5

Agora calcule o limite da forma simplificada:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x\,\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{y}\bigr).
Quando (x,y)\to(0,0) temos \sqrt{x}\to0 e \sqrt{y}\to0, portanto
x\,(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \;\longrightarrow\; 0\cdot(0+0)=0.

Resposta

\boxed{0}

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