Aplique o método do fator integrante para equações lineares e encontre a solução geral para cada equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
y d x+\left(x y+2 x-y e^{y}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y)=y, \quad N(x,y)=x\,y+2x - y\,e^{y}.
O conteúdo aqui é testar exatidão, e ao não ser exata, encontrar um fator integrante que dependa apenas de y.

Passo 2

Verificamos se é exata:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y) =1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x\,y+2x - y e^{y}) =y+2,
logo não é exata. Procuramos um fator integrante \mu(y). Para isso usamos
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} =\frac{(y+2)-1}{y} =\frac{y+1}{y} =1+\frac1y,
que depende só de y. Então
\mu(y) =\exp\!\Bigl(\int\Bigl(1+\frac1y\Bigr)\,dy\Bigr) =\exp\bigl(y+\ln|y|\bigr) =y\,e^{y}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(y)=y\,e^{y}. Obtêm-os
\underbrace{y^2e^{y}}_{\tilde M}\,dx + \underbrace{\bigl(xy^2e^{y}+2xy e^{y}-y^2e^{2y}\bigr)}_{\tilde N}\,dy =0.
Verificamos agora exatidão:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(y^2e^{y}) =2y e^{y}+y^2e^{y}, \quad \frac{\partial \tilde N}{\partial x} =y^2e^{y}+2y e^{y},
são iguais, logo é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x} =\tilde M =y^2e^{y}.
Integrando em x:
F(x,y) =\int y^2e^{y}\,dx =x\,y^2e^{y}+h(y).
Agora impomos
\frac{\partial F}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy^2e^{y}+h(y)\bigr) =x\,(2y e^{y}+y^2e^{y})+h'(y) =x y^2e^{y}+2x y e^{y}+h'(y)
que deve ser igual a \tilde N. Portanto
h'(y) =-y^2e^{2y}.
Integramos em y por partes:
h(y) =\int -y^2e^{2y}\,dy =-\frac{y^2e^{2y}}{2} +\int y e^{2y}\,dy =-\frac{y^2e^{2y}}{2} +\Bigl(\frac{y e^{2y}}{2}-\frac{e^{2y}}{4}\Bigr) =-\frac{e^{2y}}{4}\bigl(2y^2-2y+1\bigr).
Assim
F(x,y) =x\,y^2e^{y} -\frac{e^{2y}}{4}\bigl(2y^2-2y+1\bigr).
A solução geral é
F(x,y)=C,
isto é
x\,y^2e^{y} -\frac{e^{2y}}{4}\bigl(2y^2-2y+1\bigr) =C.

Resposta

x\,y^2e^{y} -\frac{e^{2y}}{4}\bigl(2y^2-2y+1\bigr) =C,
definida em qualquer intervalo onde y\neq0 (por exemplo y>0 ou y<0).

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