Determinar as soluções das equações dadas a seguir, usando uma substituição adequada:
\boldsymbol{y}^{\prime}=\operatorname{cotan}(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x})-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \cot\bigl(y + x\bigr) \;-\; 1
usando uma substituição adequada. O conteúdo de teoria aqui é reconhecer que, definindo uma nova variável que combine y e x, a equação fica separável.

Passo 2

Fazemos a substituição
z = y + x.
Então
\frac{dz}{dx} = \frac{dy}{dx} + 1.

Passo 3

Como \frac{dy}{dx} = \cot(z) - 1, temos
\frac{dz}{dx} = \bigl(\cot(z) - 1\bigr) + 1 = \cot(z).

Passo 4

Agora a equação para z é separável:
\frac{dz}{dx} = \cot(z) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dz}{\cot(z)} = dx \quad\Longrightarrow\quad \tan(z)\,dz = dx.
Integramos ambos os lados:
\int \tan(z)\,dz = \int dx \quad\Longrightarrow\quad -\ln\bigl|\cos(z)\bigr| = x + C_1.

Passo 5

Reescrevendo,
\ln\bigl|\cos(z)\bigr| + x = C,
onde C é constante geral. Em seguida voltamos à variável original usando z = y + x:
\ln\bigl|\cos(y + x)\bigr| + x = C.

Passo 6

Isolando de forma mais direta, podemos escrever a solução geral de modo implícito como
\cos\bigl(x + y\bigr)\,e^{x} = K,
onde K = e^{C} é uma constante arbitrária.

Passo 7

Se for necessário um formato explícito para y, temos
y = \operatorname{arccos}\!\bigl(K\,e^{-x}\bigr)\;-\;x.

Resposta

A solução geral da equação é dada implicitamente por
\boxed{\cos\bigl(x + y\bigr)\,e^{x} = K,}
ou explicitamente por
\boxed{y(x) = \operatorname{arccos}\!\bigl(K\,e^{-x}\bigr)\;-\;x,}
com K constante de integração.

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