Aplique o método do fator integrante para equações lineares e encontre a solução geral para cada equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
y d x+\left(x+2 x y^{2}-2 y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y\,dx + \bigl(x + 2x y^2 - 2y\bigr)\,dy = 0
usando o método do fator integrante. Observamos que podemos enxergar essa equação como uma equação linear em x em função de y. Vamos, portanto, reescrever em forma de dx/dy + P(y)\,x = Q(y).

Passo 2

Dividindo toda a equação por y (pressupondo y\neq0), obtemos
dx + \frac{x + 2x y^2 - 2y}{y}\,dy = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{dy} + \Bigl(\frac{1}{y} + 2y\Bigr) x = 2.
Aqui identificamos
P(y)=\frac{1}{y}+2y, \quad Q(y)=2.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(y) = \exp\!\Bigl(\int P(y)\,dy\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int\bigl(\tfrac1y+2y\bigr)dy\Bigr) = \exp\bigl(\ln|y|+y^2\bigr) = |y|\,e^{y^2}.
Para simplicidade, escolhemos \mu(y)=y\,e^{y^2}, considerando y>0 (o caso y<0 é análogo).

Passo 4

Multiplicamos a equação por \mu(y). O lado esquerdo torna-se a derivada de x\mu:
\frac{d}{dy}\bigl(x\,y\,e^{y^2}\bigr) = 2\,y\,e^{y^2}.
Portanto,
\frac{d}{dy}\bigl(x\,y\,e^{y^2}\bigr) = 2\,y\,e^{y^2} \quad\Longrightarrow\quad x\,y\,e^{y^2} = 2\int y\,e^{y^2}dy + C.

Passo 5

Calculamos a integral:
\int y\,e^{y^2}dy = \frac12 e^{y^2} \quad\Longrightarrow\quad 2\int y\,e^{y^2}dy = e^{y^2}.
Logo a solução implícita é
x\,y\,e^{y^2} = e^{y^2} + C.
Podemos escrever de forma mais limpa:
\bigl(xy - 1\bigr)e^{y^2} = C.

Passo 6

A constante C é arbitrária. A solução geral está, portanto,
\boxed{(xy - 1)e^{y^2} = C},
definida em cada intervalo onde y mantém sinal constante, por exemplo y>0 ou y<0.

Resposta

(xy - 1)e^{y^2} = C, definido para y>0 (e análogo para y<0).

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