Aplique o método do fator integrante para equações lineares e encontre a solução geral para cada equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o método do fator integrante. Observamos que podemos enxergar essa equação como uma equação linear em
em função de
. Vamos, portanto, reescrever em forma de
.
Passo 2
Dividindo toda a equação por
(pressupondo
), obtemos
Aqui identificamos
Passo 3
O fator integrante é
Para simplicidade, escolhemos
, considerando
(o caso
é análogo).
Passo 4
Multiplicamos a equação por
. O lado esquerdo torna-se a derivada de
:
Portanto,
Passo 5
Calculamos a integral:
Logo a solução implícita é
Podemos escrever de forma mais limpa:
Passo 6
A constante
é arbitrária. A solução geral está, portanto,
definida em cada intervalo onde
mantém sinal constante, por exemplo
ou
.