Calcule a transformada de Fourier inversa dos seguintes sinais:
F(\omega)=\frac{20 \cdot e^{-j 2 \omega}}{j \omega(j \omega+10)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier inversa de
F(\omega)=\frac{20\,e^{-j2\omega}}{j\omega\,(j\omega+10)}.
O conteúdo envolve: decompor em frações parciais, usar os pares tabelados \tfrac{1}{j\omega}\leftrightarrow u(t) e \tfrac{1}{j\omega+10}\leftrightarrow e^{-10t}u(t),
e aplicar a propriedade de deslocamento no tempo (time-shift).

Passo 2

Fazendo frações parciais em
\frac{20}{j\omega\,(j\omega+10)}=\frac{A}{j\omega}+\frac{B}{j\omega+10},
temos
20 = A\,(j\omega+10)+B\,(j\omega).
Comparando termos constantes e de j\omega:
10 A =20\Rightarrow A =2,
A + B =0\Rightarrow B = -2.
Logo
F(\omega) =e^{-j2\omega}\Bigl(\frac{2}{j\omega}-\frac{2}{j\omega+10}\Bigr).

Passo 3

Definimos a parte sem deslocamento
F_{\text{base}}(\omega) =\frac{2}{j\omega}-\frac{2}{j\omega+10}.
Pelos pares:
\frac{1}{j\omega}\longleftrightarrow u(t), \qquad \frac{1}{j\omega+10}\longleftrightarrow e^{-10t}\,u(t).
Portanto, a transformada inversa de F_{\text{base}}(\omega) é
x_{\text{base}}(t) =2\,u(t)-2\,e^{-10t}\,u(t) =2\bigl[1-e^{-10t}\bigr]u(t).

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade de deslocamento no tempo:
multiplicar por e^{-j2\omega} em frequência desloca a resposta em +2 em t.
Assim
x(t)=x_{\text{base}}(t-2) =2\bigl[1-e^{-10\,(t-2)}\bigr]u(t-2).

Resposta

x(t)=2\bigl[1-e^{-10\,(t-2)}\bigr]\,u(t-2).

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