Aplique o método de Newton-Raphson nos exemplos abaixo, para a obtenção de uma das raízes com mais precisão. Execute ao menos três iterações, chute um valor final para a raiz, e evidencie qual o erro relativo máximo deste valor.
(chute inicial:
);
Passo 1
O enunciado pede aplicar o método de Newton–Raphson à função
com chute inicial
, executar ao menos três iterações, escolher um valor final para a raiz e evidenciar o erro relativo máximo desse valor.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Função:
. - Derivada necessária:
. - Chute inicial:
.
O que se pede: - Executar o método (ao mínimo 3 iterações),
- Fornecer um valor final aproximado para uma das raízes,
- Estimar (e evidenciar) o erro relativo máximo associado a esse valor final.
Passo 2
Explicando o método de Newton–Raphson (aula rápida e prática).
A ideia: dado um chute próximo da raiz, aproximamos
por sua reta tangente em
e usamos a interseção dessa reta com o eixo
como novo chute
. A fórmula iterativa é:
A ideia: dado um chute
O que cada símbolo significa:
-
: aproximação atual da raiz. -
: próxima aproximação calculada. -
: valor da função no ponto . -
: derivada da função no ponto .
Regra prática para erro: uma estimativa simples do erro absoluto da aproximaçãoé . Uma estimativa do erro relativo é
Isto é prático na prova: se a diferença entre duas iterações consecutivas é pequena, a aproximação final é confiável.
Passo 3
Preparação: cálculo da derivada e valores iniciais.
Chute inicial:
Passo 4
Iteração 1: calcular
.
Calcule e
:
Calcule
Aplicando a fórmula:
Registre:
Passo 5
Iteração 2: calcular
.
Primeiro avaliaremos e
. Para
foi feito exatamente:
Primeiro avaliaremos
Usando a fórmula:
Registre:
Passo 6
Iteração 3: calcular
.
Avaliar e
(valores aproximados):
Avaliar
Aplicando Newton:
Registre:
Passo 7
Iteração 4 (executada para melhorar a precisão e obter um erro relativo menor): calcular
.
Avaliar e
(aproximações):
Avaliar
Aplicando Newton:
Registre:
Passo 8
(Iteração 5 opcional, só para confirmar convergência rápida — pode ser usada para refinar mais)
Avaliação rápida (resíduo já muito pequeno). Calculando uma iteração extra:
Avaliação rápida (resíduo já muito pequeno). Calculando uma iteração extra:
Portanto
já é uma boa aproximação com boa precisão em poucas casas decimais.
Passo 9
Estimativa do erro relativo máximo do valor final escolhido. Vou tomar como valor final
. Uma estimativa prática (e conservadora) do erro relativo máximo é
Calcule:
Interpretação: este valor é uma estimativa prática do erro relativo máximo na aproximação
. Como a sequência de Newton está convergindo rapidamente, o erro real provavelmente é menor do que esse valor, mas este é um limite razoável estimado a partir da diferença entre iterações consecutivas.
Resposta
Erro relativo máximo estimado