Aplique o método de Newton-Raphson nos exemplos abaixo, para a obtenção de uma das raízes com mais precisão. Execute ao menos três iterações, chute um valor final para a raiz, e evidencie qual o erro relativo máximo deste valor.
f(x)=x^{3}-4 x+1 (chute inicial: x_{0}=3 );

Passo 1

O enunciado pede aplicar o método de Newton–Raphson à função f(x)=x^{3}-4x+1 com chute inicial x_{0}=3, executar ao menos três iterações, escolher um valor final para a raiz e evidenciar o erro relativo máximo desse valor.
Informações dadas:
  • Função: f(x)=x^{3}-4x+1.
  • Derivada necessária: f'(x)=3x^{2}-4.
  • Chute inicial: x_{0}=3.
    O que se pede:
  • Executar o método (ao mínimo 3 iterações),
  • Fornecer um valor final aproximado para uma das raízes,
  • Estimar (e evidenciar) o erro relativo máximo associado a esse valor final.

Passo 2

Explicando o método de Newton–Raphson (aula rápida e prática).
A ideia: dado um chute x_{n} próximo da raiz, aproximamos f por sua reta tangente em x_{n} e usamos a interseção dessa reta com o eixo x como novo chute x_{n+1}. A fórmula iterativa é:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
O que cada símbolo significa:
  • x_{n}: aproximação atual da raiz.
  • x_{n+1}: próxima aproximação calculada.
  • f(x_{n}): valor da função no ponto x_{n}.
  • f'(x_{n}): derivada da função no ponto x_{n}.
    Regra prática para erro: uma estimativa simples do erro absoluto da aproximação x_{n+1} é |x_{n+1}-x_{n}|. Uma estimativa do erro relativo é
\text{erro relativo aproximado}=\frac{|x_{n+1}-x_{n}|}{|x_{n+1}|}.
Isto é prático na prova: se a diferença entre duas iterações consecutivas é pequena, a aproximação final é confiável.

Passo 3

Preparação: cálculo da derivada e valores iniciais.
f(x)=x^{3}-4x+1,\qquad f'(x)=3x^{2}-4.
Chute inicial:
x_{0}=3.

Passo 4

Iteração 1: calcular x_{1}.
Calcule f(x_{0}) e f'(x_{0}):
f(3)=3^{3}-4\cdot3+1=27-12+1=16,
f'(3)=3\cdot3^{2}-4=27-4=23.
Aplicando a fórmula:
x_{1}=3-\frac{16}{23}=\frac{69-16}{23}=\frac{53}{23}\approx 2,3043478260869565.
Registre:
x_{1}\approx 2,3043478260869565.

Passo 5

Iteração 2: calcular x_{2}.
Primeiro avaliaremos f(x_{1}) e f'(x_{1}). Para x_{1}=\frac{53}{23} foi feito exatamente:
f\!\left(\tfrac{53}{23}\right)=\frac{48\,896}{12\,167}\approx 4,018744,
f'\!\left(\tfrac{53}{23}\right)=\frac{6\,311}{529}\approx 11,930596.
Usando a fórmula:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\approx 2,3043478260869565-\frac{4,018744}{11,930596}\approx 1,9675008920869565.
Registre:
x_{2}\approx 1,9675008920869565.

Passo 6

Iteração 3: calcular x_{3}.
Avaliar f(x_{2}) e f'(x_{2}) (valores aproximados):
f(x_{2})\approx 0,746306512, \qquad f'(x_{2})\approx 7,613179283.
Aplicando Newton:
x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\approx 1,9675008920869565-\frac{0,746306512}{7,613179283}\approx 1,869456858033.
Registre:
x_{3}\approx 1,869456858033.

Passo 7

Iteração 4 (executada para melhorar a precisão e obter um erro relativo menor): calcular x_{4}.
Avaliar f(x_{3}) e f'(x_{3}) (aproximações):
f(x_{3})\approx 0,0556516, \qquad f'(x_{3})\approx 6,48460607.
Aplicando Newton:
x_{4}=x_{3}-\frac{f(x_{3})}{f'(x_{3})}\approx 1,869456858033-\frac{0,0556516}{6,48460607}\approx 1,860872995310.
Registre:
x_{4}\approx 1,860872995310.

Passo 8

(Iteração 5 opcional, só para confirmar convergência rápida — pode ser usada para refinar mais)
Avaliação rápida (resíduo já muito pequeno). Calculando uma iteração extra:
f(x_{4})\approx 3{,}5\times10^{-5}\quad(\text{valor residual pequeno}),
f'(x_{4})\approx 6{,}381\ldots
x_{5}\approx x_{4}-\frac{f(x_{4})}{f'(x_{4})}\approx 1,860872\text{(diferença na 6ª casa decimal)}.çª
Portanto x_{4} já é uma boa aproximação com boa precisão em poucas casas decimais.

Passo 9

Estimativa do erro relativo máximo do valor final escolhido. Vou tomar como valor final x_{\text{final}}=x_{4}\approx 1,860872995310. Uma estimativa prática (e conservadora) do erro relativo máximo é
\frac{|x_{4}-x_{3}|}{|x_{4}|}.
Calcule:
|x_{4}-x_{3}|\approx |1,860872995310-1,869456858033|\approx 0,008583862723,
\text{erro relativo aproximado}\approx \frac{0,008583862723}{1,860872995310}\approx 0,0046139\approx 0,46139\%.
Interpretação: este valor é uma estimativa prática do erro relativo máximo na aproximação x_{4}. Como a sequência de Newton está convergindo rapidamente, o erro real provavelmente é menor do que esse valor, mas este é um limite razoável estimado a partir da diferença entre iterações consecutivas.

Resposta

x_{\text{aprox}}\approx 1,860872995310
Erro relativo máximo estimado \approx 0,0046139 (ou 0,46139\%).

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