Para as funções abaixo, faça o isolamento dos intervalos em que as raízes estão. Para tanto, desenvolva uma tabela com valores de
e
. Justifique porque os intervalos escolhidos têm uma raiz, e só uma raiz, e não desenvolva as respostas pelo método gráfico.
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se faça o isolamento dos intervalos em que as raízes estão. Também pede desenvolver uma tabela com valores de
,
e
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Deve-se apresentar uma tabela com alguns pontos
e os correspondentes e . - É necessário justificar por que cada intervalo escolhido contém exatamente (ou seja, só) uma raiz.
(O enunciado não pede o uso de método gráfico; portanto usaremos argumentos analíticos.)
Passo 2
Calcular a derivada e explicar o que ela nos diz.
A derivada de é obtida usando a regra de derivação de potências: se
então
. Aplicando a regra a
temos
A derivada de
O que isso significa (mini-aula):
indica a taxa de variação instantânea de
. Se
em um intervalo,
é estritamente crescente ali; se
,
é estritamente decrescente ali. Funções estritamente monótonas não podem ter duas raízes distintas dentro de um mesmo intervalo onde são monótonas, porque isso exigiria que a função voltasse a mudar de sinal sem que a derivada mudasse de sinal.
Passo 3
Construir a tabela pedida com alguns pontos úteis para localizar as raízes. (Todos os números e expressões matemáticas estão em notação matemática.)
|
|
|
|
|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Comentários sobre a tabela: escolhi pontos simétricos positivos e negativos e
para ver a mudança de sinal de
e o sinal da derivada.
Passo 4
Usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para garantir existência de raízes nos intervalos. (Mini-aula sobre TVI)
O Teorema do Valor Intermediário diz: se uma função é contínua em um intervalo fechado
e
e
têm sinais opostos (isto é,
), então existe pelo menos um
tal que
.
Polinômios são funções contínuas em toda a reta, então podemos aplicar o TVI sempre que encontrarmos um par de pontos com sinais opostos.
O Teorema do Valor Intermediário diz: se uma função
Polinômios são funções contínuas em toda a reta, então podemos aplicar o TVI sempre que encontrarmos um par de pontos com sinais opostos.
Aplicando à tabela:
- Em
temos . Em temos . Como é contínua, pelo TVI existe pelo menos uma raiz em . - Em
temos . Em temos . Pelo TVI existe pelo menos uma raiz em .
Assim já isolamos dois intervalos que contêm raízes:
e
.
Passo 5
Justificar a unicidade (só uma raiz) em cada intervalo usando monotonicidade (derivada).
Observações de monotonicidade a partir de :
Observações de monotonicidade a partir de
- Em qualquer intervalo contido em
(por exemplo ) temos então . Logo é estritamente decrescente em . Uma função estritamente decrescente que muda de sinal nesse intervalo só pode ter uma única raiz ali (se tivesse duas, não seria estritamente decrescente entre elas). - Em qualquer intervalo contido em
(por exemplo ) temos então . Logo é estritamente crescente em . Uma função estritamente crescente que muda de sinal nesse intervalo só pode ter uma única raiz ali.
Conclusão: em
existe exatamente uma raiz; em
existe exatamente uma raiz.
Passo 6
Verificação e localização mais precisa (opcional, para confirmar): resolver
.
Aproximação numérica:
, então as raízes são aproximadamente
e
, ambas claramente dentro dos intervalos
e
que escolhemos. (Isso confirma que os intervalos isolam corretamente as raízes.)