Para as funções abaixo, faça o isolamento dos intervalos em que as raízes estão. Para tanto, desenvolva uma tabela com valores de x, f(x) e f^{\prime}(x). Justifique porque os intervalos escolhidos têm uma raiz, e só uma raiz, e não desenvolva as respostas pelo método gráfico.
f(x)=x^{2}-5;

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}-5 e pede que se faça o isolamento dos intervalos em que as raízes estão. Também pede desenvolver uma tabela com valores de x, f(x) e f^{\prime}(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{2}-5.
  • Deve-se apresentar uma tabela com alguns pontos x e os correspondentes f(x) e f^{\prime}(x).
  • É necessário justificar por que cada intervalo escolhido contém exatamente (ou seja, só) uma raiz.
    (O enunciado não pede o uso de método gráfico; portanto usaremos argumentos analíticos.)

Passo 2

Calcular a derivada e explicar o que ela nos diz.
A derivada de f é obtida usando a regra de derivação de potências: se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}. Aplicando a regra a x^{2} temos
f'(x)=2x.
O que isso significa (mini-aula): f'(x) indica a taxa de variação instantânea de f. Se f'(x)>0 em um intervalo, f é estritamente crescente ali; se f'(x)<0, f é estritamente decrescente ali. Funções estritamente monótonas não podem ter duas raízes distintas dentro de um mesmo intervalo onde são monótonas, porque isso exigiria que a função voltasse a mudar de sinal sem que a derivada mudasse de sinal.

Passo 3

Construir a tabela pedida com alguns pontos úteis para localizar as raízes. (Todos os números e expressões matemáticas estão em notação matemática.)
x f(x)=x^{2}-5 f'(x)=2x
-3 (-3)^{2}-5=9-5=4 2(-3)=-6
-2{,}5 (-2{,}5)^{2}-5=6{,}25-5=1{,}25 2(-2{,}5)=-5
-2 (-2)^{2}-5=4-5=-1 2(-2)=-4
0 0^{2}-5=-5 2\cdot 0=0
2 2^{2}-5=4-5=-1 2\cdot 2=4
2{,}5 (2{,}5)^{2}-5=6{,}25-5=1{,}25 2(2{,}5)=5
3 3^{2}-5=9-5=4 2\cdot 3=6
Comentários sobre a tabela: escolhi pontos simétricos positivos e negativos e 0 para ver a mudança de sinal de f e o sinal da derivada.

Passo 4

Usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para garantir existência de raízes nos intervalos. (Mini-aula sobre TVI)
O Teorema do Valor Intermediário diz: se uma função g é contínua em um intervalo fechado [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos (isto é, g(a)\cdot g(b)<0), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0.
Polinômios são funções contínuas em toda a reta, então podemos aplicar o TVI sempre que encontrarmos um par de pontos com sinais opostos.
Aplicando à tabela:
  • Em x=-3 temos f(-3)=4>0. Em x=-2 temos f(-2)=-1<0. Como f é contínua, pelo TVI existe pelo menos uma raiz em (-3,-2).
  • Em x=2 temos f(2)=-1<0. Em x=3 temos f(3)=4>0. Pelo TVI existe pelo menos uma raiz em (2,3).
Assim já isolamos dois intervalos que contêm raízes: (-3,-2) e (2,3).

Passo 5

Justificar a unicidade (só uma raiz) em cada intervalo usando monotonicidade (derivada).
Observações de monotonicidade a partir de f'(x)=2x:
  • Em qualquer intervalo contido em (-\infty,0) (por exemplo (-3,-2)) temos x<0 então f'(x)=2x<0. Logo f é estritamente decrescente em (-3,-2). Uma função estritamente decrescente que muda de sinal nesse intervalo só pode ter uma única raiz ali (se tivesse duas, não seria estritamente decrescente entre elas).
  • Em qualquer intervalo contido em (0,\infty) (por exemplo (2,3)) temos x>0 então f'(x)=2x>0. Logo f é estritamente crescente em (2,3). Uma função estritamente crescente que muda de sinal nesse intervalo só pode ter uma única raiz ali.
Conclusão: em (-3,-2) existe exatamente uma raiz; em (2,3) existe exatamente uma raiz.

Passo 6

Verificação e localização mais precisa (opcional, para confirmar): resolver f(x)=0.
x^{2}-5=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=5 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{5}.
Aproximação numérica: \sqrt{5}\approx2{,}236, então as raízes são aproximadamente -2{,}236 e +2{,}236, ambas claramente dentro dos intervalos (-3,-2) e (2,3) que escolhemos. (Isso confirma que os intervalos isolam corretamente as raízes.)

Resposta

(-3,-2)
(2,3)

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