Aplique o método de Newton-Raphson nos exemplos abaixo, para a obtenção de uma das raízes com mais precisão. Execute ao menos três iterações, chute um valor final para a raiz, e evidencie qual o erro relativo máximo deste valor.
f(x)=x^{2}-2 (chute inicial: x_{0}=1 );

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função f(x)=x^{2}-2.
  • O chute inicial x_{0}=1.
    O que se pede:
  • Aplicar o método de Newton–Raphson realizando ao menos três iterações.
  • Escolher um valor final (uma aproximação da raiz).
  • Evidenciar o erro relativo máximo desse valor.

Passo 2

Apresentando o método de Newton–Raphson (aula rápida, sem pular passos).
  • Ideia: aproximar a curva por uma reta tangente em x_{n} e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como novo x_{n+1}.
  • Fórmula do método:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui:
  • x_{n} é a aproximação atual da raiz;
  • f(x_{n}) é o valor da função no ponto x_{n};
  • f'(x_{n}) é a derivada da função no ponto x_{n};
  • x_{n+1} é a próxima aproximação obtida pela tangente.
    Condição prática: precisamos que f'(x_{n})\neq0 para aplicar a fórmula.

Passo 3

Calcular a derivada da função e escrever a fórmula específica para este caso.
  • Dado f(x)=x^{2}-2, a derivada é
f'(x)=2x.
  • Substituindo na fórmula de Newton:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{2}-2}{2x_{n}}.
Podemos simplificar essa expressão (útil para contas à mão):
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{2}-2}{2x_{n}} = x_{n}-\frac{1}{2}\left(x_{n}-\frac{2}{x_{n}}\right) = \frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{2}{x_{n}}\right).
Essa forma é a iteração clássica para calcular \sqrt{2}: a média aritmética entre x_n e 2/x_n. Ela é fácil de calcular sem muita conta.

Passo 4

Primeira iteração ( n=0 n=1).
  • Temos x_{0}=1.
  • Usando a versão simplificada:
x_{1}=\frac{1}{2}\left(x_{0}+\frac{2}{x_{0}}\right) = \frac{1}{2}\left(1+\frac{2}{1}\right) = \frac{1}{2}\cdot 3 = \frac{3}{2}=1,5.
Portanto x_{1}=1,5.

Passo 5

Segunda iteração ( n=1 n=2).
  • Partindo de x_{1}=\dfrac{3}{2}:
x_{2}=\frac{1}{2}\left(x_{1}+\frac{2}{x_{1}}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}+\frac{2}{3/2}\right).
Calculemos passo a passo:
\frac{2}{3/2}=\frac{2}{1,5}=\frac{4}{3}.
Então
x_{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}+\frac{4}{3}\right).
Colocando sobre o mesmo denominador:
\frac{3}{2}=\frac{9}{6},\qquad \frac{4}{3}=\frac{8}{6},
logo
x_{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{17}{6}=\frac{17}{12}=1,416666\ldots
Assim x_{2}=\dfrac{17}{12}\approx1,4166666666666667.

Passo 6

Terceira iteração ( n=2 n=3).
  • Partindo de x_{2}=\dfrac{17}{12}.
    Usando a fórmula direta (ou a simplificada novamente):
x_{3}=\frac{1}{2}\left(\frac{17}{12}+\frac{2}{17/12}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{17}{12}+\frac{24}{17}\right).
Calculemos com frações:
\frac{17}{12}=\frac{289}{204},\qquad \frac{24}{17}=\frac{288}{204},
portanto
x_{3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{289+288}{204}=\frac{1}{2}\cdot\frac{577}{204}=\frac{577}{408}.
Valor decimal:
x_{3}=\frac{577}{408}\approx 1,4142156862745098.

Passo 7

Quarta iteração ( n=3 n=4) — vou fazer uma iteração extra para melhorar a precisão e escolher o valor final.
  • Partindo de x_{3}=\dfrac{577}{408}. Usando a forma com frações:
x_{4}=\frac{1}{2}\left(\frac{577}{408}+\frac{2}{577/408}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{577}{408}+\frac{816}{577}\right).
Para manter as contas diretas, também podemos usar a versão com subtração:
x_{4}=x_{3}-\frac{f(x_{3})}{f'(x_{3})},
onde f(x_{3})=x_{3}^{2}-2. Calculando x_{3}^{2}:
\left(\frac{577}{408}\right)^{2}=\frac{577^{2}}{408^{2}}=\frac{332929}{166464}.
Então
f(x_{3})=\frac{332929}{166464}-2=\frac{332929-332928}{166464}=\frac{1}{166464}.
E
f'(x_{3})=2x_{3}=2\cdot\frac{577}{408}=\frac{1154}{408}=\frac{577}{204}.
Logo
x_{4}=x_{3}-\frac{1/166464}{577/204} = \frac{577}{408}-\frac{1}{166464}\cdot\frac{204}{577} = \frac{577}{408}-\frac{17}{8004144}.
Decimalmente:
x_{4}\approx 1,4142135623745098\\ (\text{aprox.}).
(Observe que a correção foi muito pequena: cerca de 2{,}1239\times10^{-6} no passo anterior e agora o valor ficou com precisão na casa dos 10^{-12}.)

Passo 8

Escolha do valor final e cálculo do erro relativo máximo.
  • Escolho como valor final a aproximação obtida em x_{4}:
x_{\text{final}}=x_{4}\approx 1,4142135623745098.
  • Definição de erro relativo (o que vamos medir): para uma aproximação \hat{x} da raiz exata \alpha (aqui \alpha=\sqrt{2}), o erro relativo é
\text{erro relativo}=\frac{|\hat{x}-\alpha|}{|\alpha|}.
  • Para “evidenciar” o erro relativo máximo deste valor apresento duas coisas:
    1. Uma estimativa conservadora baseada na última diferença entre iterações (heurística comum em métodos numéricos): como |x_{4}-\alpha| costuma ser pelo menos menor que |x_{4}-x_{3}|, um limite conservador para o erro relativo é
    \frac{|x_{4}-x_{3}|}{|x_{4}|}\approx\frac{2{,}1239\times10^{-6}}{1{,}4142135623745}\approx 1{,}50\times10^{-6}.Esse valor é um limite grosseiro — “máximo” no sentido prático sem conhecer \alpha exatamente.
    2. O erro real (usando o valor exato conhecido \alpha=\sqrt{2}\approx 1,4142135623730951) — isto é permitido para avaliar a qualidade da aproximação: |\;x_{4}-\sqrt{2}\;|\approx 1{,}41\times10^{-12},então o erro relativo real é \frac{|x_{4}-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}\approx 1{,}0\times10^{-12}.
  • Conclusão: a aproximação x_{4} tem erro relativo real da ordem de 10^{-12}. Como estimativa prática e conservadora, usando a diferença entre as últimas iterações, pode-se afirmar um erro relativo máximo da ordem de 1{,}5\times10^{-6} se não se quiser usar o valor exato de \sqrt{2}.

Resposta

x\approx 1,4142135623745098
erro relativo (estimativa conservadora) \approx 1{,}5\times10^{-6}
erro relativo (valor real, usando \sqrt{2}) \approx 1{,}0\times10^{-12}

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