Aplique o método de Newton-Raphson nos exemplos abaixo, para a obtenção de uma das raízes com mais precisão. Execute ao menos três iterações, chute um valor final para a raiz, e evidencie qual o erro relativo máximo deste valor.
(chute inicial:
);
Passo 1
O enunciado dá:
- A função
. - O chute inicial
.
O que se pede: - Aplicar o método de Newton–Raphson realizando ao menos três iterações.
- Escolher um valor final (uma aproximação da raiz).
- Evidenciar o erro relativo máximo desse valor.
Passo 2
Apresentando o método de Newton–Raphson (aula rápida, sem pular passos).
- Ideia: aproximar a curva por uma reta tangente em
e tomar a interseção dessa reta com o eixo como novo . - Fórmula do método:
Aqui:
-
é a aproximação atual da raiz; -
é o valor da função no ponto ; -
é a derivada da função no ponto ; -
é a próxima aproximação obtida pela tangente.
Condição prática: precisamos quepara aplicar a fórmula.
Passo 3
Calcular a derivada da função e escrever a fórmula específica para este caso.
- Dado
, a derivada é
- Substituindo na fórmula de Newton:
Podemos simplificar essa expressão (útil para contas à mão):
Essa forma é a iteração clássica para calcular
: a média aritmética entre
e
. Ela é fácil de calcular sem muita conta.
Passo 4
Primeira iteração (
→
).
- Temos
. - Usando a versão simplificada:
Portanto
.
Passo 5
Segunda iteração (
→
).
- Partindo de
:
Calculemos passo a passo:
Então
Colocando sobre o mesmo denominador:
logo
Assim
.
Passo 6
Terceira iteração (
→
).
- Partindo de
.
Usando a fórmula direta (ou a simplificada novamente):
Calculemos com frações:
portanto
Valor decimal:
Passo 7
Quarta iteração (
→
) — vou fazer uma iteração extra para melhorar a precisão e escolher o valor final.
- Partindo de
. Usando a forma com frações:
Para manter as contas diretas, também podemos usar a versão com subtração:
onde
. Calculando
:
Então
E
Logo
Decimalmente:
(Observe que a correção foi muito pequena: cerca de
no passo anterior e agora o valor ficou com precisão na casa dos
.)
Passo 8
Escolha do valor final e cálculo do erro relativo máximo.
- Escolho como valor final a aproximação obtida em
:
- Definição de erro relativo (o que vamos medir): para uma aproximação
da raiz exata (aqui ), o erro relativo é
- Para “evidenciar” o erro relativo máximo deste valor apresento duas coisas:
- Uma estimativa conservadora baseada na última diferença entre iterações (heurística comum em métodos numéricos): como
costuma ser pelo menos menor que , um limite conservador para o erro relativo é
Esse valor é um limite grosseiro — “máximo” no sentido prático sem conhecer exatamente.
2. O erro real (usando o valor exato conhecido) — isto é permitido para avaliar a qualidade da aproximação: então o erro relativo real é - Uma estimativa conservadora baseada na última diferença entre iterações (heurística comum em métodos numéricos): como
- Conclusão: a aproximação
tem erro relativo real da ordem de . Como estimativa prática e conservadora, usando a diferença entre as últimas iterações, pode-se afirmar um erro relativo máximo da ordem de se não se quiser usar o valor exato de .
Resposta
erro relativo (estimativa conservadora)
erro relativo (valor real, usando