Aplique o método de Newton-Raphson nos exemplos abaixo, para a obtenção de uma das raízes com mais precisão. Execute ao menos três iterações, chute um valor final para a raiz, e evidencie qual o erro relativo máximo deste valor.
f(x)=x^{3}-6 x^{2}+11 x-6 (chute inicial: x_{0}=3.5 );

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6
e pede para aplicar o método de Newton–Raphson para obter uma das raízes com mais precisão. O enunciado fornece também o chute inicial
x_{0}=3,5.
As tarefas explícitas que vou cumprir são:
  • executar ao menos três iterações do método de Newton–Raphson a partir de x_{0}=3,5;
  • escolher um valor final (uma aproximação da raiz) depois das iterações;
  • evidenciar o erro relativo máximo desse valor (ou seja, calcular o erro relativo entre a aproximação final e a raiz exata correspondente).

Passo 2

Breve aula prática sobre o método de Newton–Raphson (do jeitinho que você pediu: mastigado e sem enrolação).
  • A ideia: a cada iteração a gente aproxima a raiz de f trocando f pela reta tangente em x_n e calculando onde essa reta corta o eixo x. Isso dá a fórmula de iteração.
  • Fórmula do método: para n=0,1,2,\dots,
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui:
  • x_n é a aproximação atual da raiz;
  • f(x_n) é o valor da função no ponto x_n;
  • f'(x_n) é a derivada da função no ponto x_n;
  • x_{n+1} é a nova aproximação (obtida cortando a tangente no eixo x).
  • Observação prática: calcular f(x) e f'(x) corretamente é a parte essencial. Vamos achar primeiro a derivada de f.

Passo 3

Calcular a derivada e simplificar a função quando for útil.
A derivada é
f'(x)=3x^{2}-12x+11.
Uma observação útil (que facilita contas): a função dada fatoriza-se exatamente como
f(x)=(x-1)(x-2)(x-3),
portanto as raízes exatas são x=1, x=2 e x=3. Como o chute inicial x_{0}=3,5 está próximo de 3, o método deve convergir para a raiz 3. Ter essa fatoração ajuda a avaliar f(x) de forma rápida: basta multiplicar os três fatores (x-1),(x-2),(x-3).
Agora vamos aplicar o método com contas detalhadas.

Passo 4

Iteração 1: cálculo de x_{1} a partir de x_{0}=3,5.
Calcular f(x_{0}) usando a fatoração (ou a forma polinomial):
f(3,5)=(3,5-1)(3,5-2)(3,5-3)=(2,5)(1,5)(0,5)=2{,}5\cdot1{,}5\cdot0{,}5=1{,}875.
Calcular f'(x_{0}):
f'(3,5)=3(3,5)^{2}-12(3,5)+11.
Fazendo as contas:
(3,5)^{2}=12{,}25,\qquad 3\cdot12{,}25=36{,}75,
-12\cdot3{,}5=-42,\qquad 36{,}75-42+11=5{,}75.
Logo f'(3,5)=5{,}75.
Aplicando a fórmula de Newton:
x_{1}=3{,}5-\frac{1{,}875}{5{,}75}=3{,}5-\frac{15}{46}=3{,}5-0{,}3260869565\ldots
x_{1}\approx 3{,}1739130435.
(Observação: a fração \dfrac{15}{46} vem da simplificação de 1{,}875/5{,}75.)

Passo 5

Iteração 2: cálculo de x_{2} a partir de x_{1}.
Primeiro f(x_{1}). Como x_{1}=\dfrac{73}{23} (valor racional exato), é prático usar a fatoração:
f\!\left(\tfrac{73}{23}\right)=\left(\tfrac{73}{23}-1\right)\left(\tfrac{73}{23}-2\right)\left(\tfrac{73}{23}-3\right) =\frac{50}{23}\cdot\frac{27}{23}\cdot\frac{4}{23}=\frac{5400}{12167}.
Em decimal:
f(x_{1})\approx 0{,}4438234568.
Agora f'(x_{1}). Usando f'(x)=3x^{2}-12x+11 e x_{1}=\dfrac{73}{23}:
f'\!\left(\tfrac{73}{23}\right)=\frac{1658}{529}\approx 3{,}13422\ldots
(na prática, calculei a fração exata e depois a decimal).
Aplicando Newton:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})} \approx 3{,}1739130435-\frac{0{,}4438234568}{3{,}13422} \approx 3{,}0323063430.
Regra prática: mantenha algumas casas extras durante as contas e arredonde no fim de cada iteração.

Passo 6

Iteração 3: cálculo de x_{3} a partir de x_{2}.
Calcular f(x_{2}) usando a fatoração:
x_{2}-1\approx 2{,}0323063430,\qquad x_{2}-2\approx 1{,}0323063430,\qquad x_{2}-3\approx 0{,}0323063430.
Multiplicando:
f(x_{2})\approx 2{,}0323063430\cdot1{,}0323063430\cdot0{,}0323063430\approx 0{,}067753\\ (\text{aprox.}).
Calcular f'(x_{2}):
f'(x_{2})=3x_{2}^{2}-12x_{2}+11\approx 2{,}19696946.
Aplicando Newton:
x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})} \approx 3{,}0323063430-\frac{0{,}067753}{2{,}19696946} \approx 3{,}0014703430.
Agora já fizemos três iterações ( x_{1},x_{2},x_{3} ) como pedido.

Passo 7

(Iteração extra para melhorar a precisão do chute final — opcional mas útil)
Iteração 4: cálculo de x_{4} a partir de x_{3} (para um chute final mais preciso).
Calcular f(x_{3}) por fatoração:
x_{3}-3\approx 0{,}0014703430,\qquad x_{3}-2\approx 1{,}0014703430,\qquad x_{3}-1\approx 2{,}0014703430,
f(x_{3})\approx 2{,}0014703430\cdot1{,}0014703430\cdot0{,}0014703430\approx 0{,}00294718\\ (\text{aprox.}).
Calcular f'(x_{3}):
f'(x_{3})=3x_{3}^{2}-12x_{3}+11\approx 2{,}008828544.
Aplicando Newton:
x_{4}=x_{3}-\frac{f(x_{3})}{f'(x_{3})} \approx 3{,}0014703430-\frac{0{,}00294718}{2{,}008828544} \approx 3{,}0000038430.
Agora temos uma aproximação bem precisa da raiz 3. Eu vou adotar x_{4} como o chute final, porque já está muito próximo da raiz exata e nos permite calcular o erro relativo com facilidade.

Passo 8

Cálculo do erro relativo máximo do valor final escolhido.
A raiz exata que buscamos (pela análise da fatoração) é 3. O valor final escolhido é
x_{\text{final}}=x_{4}\approx 3{,}0000038430.
O erro absoluto é
\left|x_{\text{final}}-3\right|\approx 0{,}0000038430.
O erro relativo (dividido pelo valor exato 3) é
\frac{\left|x_{\text{final}}-3\right|}{|3|}\approx \frac{0{,}0000038430}{3}\approx 0{,}0000012810.
Em notação científica isso é aproximadamente 1{,}2810\times10^{-6}. Esse é o erro relativo (ordem de 10^{-6}) da aproximação final x_{4}. Está demonstrado: fiz pelo menos três iterações e dei um chute final com o erro relativo evidenciado.

Resposta

Raiz aproximada escolhida: x_{\text{final}}\approx 3{,}0000038430
Erro relativo máximo (aproximado): \displaystyle 0{,}0000012810\\ (\approx 1{,}2810\times10^{-6})

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