Aplique o método de Newton-Raphson nos exemplos abaixo, para a obtenção de uma das raízes com mais precisão. Execute ao menos três iterações, chute um valor final para a raiz, e evidencie qual o erro relativo máximo deste valor.
(chute inicial:
);
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para aplicar o método de Newton–Raphson para obter uma das raízes com mais precisão. O enunciado fornece também o chute inicial
As tarefas explícitas que vou cumprir são:
- executar ao menos três iterações do método de Newton–Raphson a partir de
; - escolher um valor final (uma aproximação da raiz) depois das iterações;
- evidenciar o erro relativo máximo desse valor (ou seja, calcular o erro relativo entre a aproximação final e a raiz exata correspondente).
Passo 2
Breve aula prática sobre o método de Newton–Raphson (do jeitinho que você pediu: mastigado e sem enrolação).
- A ideia: a cada iteração a gente aproxima a raiz de
trocando pela reta tangente em e calculando onde essa reta corta o eixo . Isso dá a fórmula de iteração. - Fórmula do método: para
,
Aqui:
-
é a aproximação atual da raiz; -
é o valor da função no ponto ; -
é a derivada da função no ponto ; -
é a nova aproximação (obtida cortando a tangente no eixo ). -
Observação prática: calcular
e corretamente é a parte essencial. Vamos achar primeiro a derivada de .
Passo 3
Calcular a derivada e simplificar a função quando for útil.
A derivada é
Uma observação útil (que facilita contas): a função dada fatoriza-se exatamente como
portanto as raízes exatas são
,
e
. Como o chute inicial
está próximo de
, o método deve convergir para a raiz
. Ter essa fatoração ajuda a avaliar
de forma rápida: basta multiplicar os três fatores
.
Agora vamos aplicar o método com contas detalhadas.
Passo 4
Iteração 1: cálculo de
a partir de
.
Calcular
usando a fatoração (ou a forma polinomial):
Calcular
:
Fazendo as contas:
Logo
.
Aplicando a fórmula de Newton:
(Observação: a fração
vem da simplificação de
.)
Passo 5
Iteração 2: cálculo de
a partir de
.
Primeiro
. Como
(valor racional exato), é prático usar a fatoração:
Em decimal:
Agora
. Usando
e
:
(na prática, calculei a fração exata e depois a decimal).
Aplicando Newton:
Regra prática: mantenha algumas casas extras durante as contas e arredonde no fim de cada iteração.
Passo 6
Iteração 3: cálculo de
a partir de
.
Calcular
usando a fatoração:
Multiplicando:
Calcular
:
Aplicando Newton:
Agora já fizemos três iterações (
) como pedido.
Passo 7
(Iteração extra para melhorar a precisão do chute final — opcional mas útil)
Iteração 4: cálculo de
a partir de
(para um chute final mais preciso).
Calcular
por fatoração:
Calcular
:
Aplicando Newton:
Agora temos uma aproximação bem precisa da raiz
. Eu vou adotar
como o chute final, porque já está muito próximo da raiz exata e nos permite calcular o erro relativo com facilidade.
Passo 8
Cálculo do erro relativo máximo do valor final escolhido.
A raiz exata que buscamos (pela análise da fatoração) é
. O valor final escolhido é
O erro absoluto é
O erro relativo (dividido pelo valor exato
) é
Em notação científica isso é aproximadamente
. Esse é o erro relativo (ordem de
) da aproximação final
. Está demonstrado: fiz pelo menos três iterações e dei um chute final com o erro relativo evidenciado.
Resposta
Raiz aproximada escolhida:
Erro relativo máximo (aproximado):