Aplique o método de Newton-Raphson nos exemplos abaixo, para a obtenção de uma das raízes com mais precisão. Execute ao menos três iterações, chute um valor final para a raiz, e evidencie qual o erro relativo máximo deste valor.
(chute inicial:
);
Passo 1
O enunciado dá a função e o chute inicial e pede que apliquemos Newton–Raphson por ao menos três iterações, que chutemos um valor final para a raiz e que evidenciemos o erro relativo máximo desse valor.
- Função:
. - Chute inicial:
. - Pedidos:
- Executar pelo menos três iterações do método de Newton–Raphson.
- Escolher um valor final (após as iterações) para a raiz.
- Mostrar o erro relativo máximo desse valor (estimar um limite superior para o erro relativo).
Passo 2
O que é o método de Newton–Raphson (explicação passo a passo, sem pular etapas).
- Ideia: aproximar a raiz de
usando a reta tangente à curva em um ponto . A intersecção dessa reta com o eixo é o próximo chute . - Fórmula geral do método: a partir de um
,
- Significado das variáveis:
-
: o n-ésimo chute (estimativa atual da raiz). -
: valor da função no chute atual (mostra o quanto estamos longe do zero). -
: derivada da função no chute (declividade da reta tangente). -
: nova estimativa obtida cortando a tangente com o eixo .
-
Passo 3
Derivada da função e simplificação da fórmula para este problema.
- Temos
. A derivada é
- Substituindo na fórmula de Newton:
- Simplificando:
Essa forma é prática porque reduz a conta a avaliar
e multiplicar por
.
Passo 4
Primeira iteração (
).
- Avaliar
. Usando uma aproximação:
- Aplicar a fórmula simplificada:
- Calculando:
Passo 5
Segunda iteração (
). Como calcular
sem calculadora (truque prático).
- Observação útil: a raiz exata de
é , porque . Isso nos permite usar uma expansão de Taylor de em torno de para obter com poucas operações: - Se
e com pequeno, então
- Aqui
, o que simplifica bastante os cálculos.
- Se
- Calcular
:
- Aplicando a expansão até o termo quadrático (já suficientemente preciso para nossas iterações):
- Substituindo números:
-
. -
.
-
- Agora aplicar a fórmula de Newton:
- Calculando o fator:
- Então
Passo 6
Terceira iteração (
).
- Novamente usamos a expansão em torno de
para . Calcule :
- Termos da expansão:
-
. -
é da ordem de e pode ser desprezado para os dígitos que queremos aqui.
-
- Aplicar a fórmula:
- Calculando o fator:
- Então
Passo 7
Interpretação das iterações e estimativa do erro relativo máximo.
- Fizemos três iterações e obtivemos:
-
- Observação: a raiz exata é
. Podemos comparar: - Erro absoluto real em
: (muito pequeno). - Erro relativo real em
: .
- Erro absoluto real em
- Porém, quando se pede o “erro relativo máximo” de uma estimativa num método iterativo, é comum usar a diferença entre últimas iterações como uma estimativa conservadora (um limite superior prático) para o erro absoluto restante. Assim:
- Estimativa do erro absoluto máximo
. - Portanto erro relativo máximo estimado:
- Estimativa do erro absoluto máximo
- Em notação científica:
- Observação final e incentivo: na prática vimos que Newton–Raphson convergiu rápido (em 3 iterações já chegamos à 7 casas decimais corretas) — a estimativa pelo último passo é conservadora; o erro real é bem menor.
Resposta
erro relativo máximo estimado