Aplique o método de passo múltiplo
y_{n+2}-y_{n+1}=h\left(-\frac{1}{2} f_{n}+\frac{3}{2} f_{n+1}\right)
para estimar o valor de y(0.2) do problema
\frac{d y}{d t}=-\frac{1}{2} y+t
sujeito a y(t=0)=1. Considere h=0.1. Se necessário, utilize informaçōes do exercicio anterior para
inicializar o método.

Passo 1

O problema pede a aproximação de y(0.2) para a EDO
\frac{dy}{dt}=-\frac12\,y+t,
com condição inicial y(0)=1 e passo h=0.1, usando o método de passo múltiplo de dois passos (Adams–Bashforth de ordem 2) dado por
y_{n+2}=y_{n+1}+h\Bigl(-\tfrac12\,f_n+\tfrac32\,f_{n+1}\Bigr),
onde f_n=f(t_n,y_n). Como é método de dois passos, precisamos de y_0 e y_1.

Passo 2

Temos imediatamente
y_0=1,\quad t_0=0.
Para gerar y_1 usamos o método de Euler explícito como inicializador:
f_0=f(t_0,y_0)=-\tfrac12\cdot y_0 + t_0=-\tfrac12,
y_1 = y_0 + h\,f_0 = 1 + 0.1\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)=0.95.

Passo 3

Calculamos agora
t_1=t_0+h=0.1,\quad f_1=f(t_1,y_1)=-\tfrac12\cdot0.95 + 0.1 = -0.375.

Passo 4

Aplicamos o método de Adams–Bashforth de ordem 2 para obter y_2 em t_2=0.2:
y_{2} = y_{1} + h\Bigl(-\tfrac12\,f_0+\tfrac32\,f_1\Bigr) =0.95 +0.1\Bigl(-\tfrac12\cdot(-0.5)+\tfrac32\cdot(-0.375)\Bigr).
Dentro do parêntese:
-\tfrac12\cdot(-0.5)=0.25,\quad \tfrac32\cdot(-0.375)=-0.5625,\quad 0.25-0.5625=-0.3125.
Então
y_2=0.95+0.1\cdot(-0.3125)=0.95-0.03125=0.91875.

Resposta

A estimativa de y(0.2) pelo método dado é aproximadamente 0.91875.

Exercícios relacionados