Seja C uma curva parametrizada por
r(t)=(\cos (2 t), \operatorname{sen}(2 t), k t), t \in[0,4 \pi],
onde k é uma constante positiva. Calcule o valor de k sabendo que o comprimento da curva é 12 \pi.

Passo 1

Aqui temos a curva parametrizada por r(t)=(\cos(2t),\,\sin(2t),\,k\,t) para t\in[0,4\pi] e queremos achar o valor de k>0 de modo que o comprimento dessa curva seja 12\pi. O conteúdo envolvido é comprimento de curva paramétrica, e vamos usar a fórmula
L = \int_{a}^{b} \big\lVert r'(t)\big\rVert \,dt.

Passo 2

Para aplicar a fórmula, primeiro calculamos a derivada vetorial:
r'(t) = \bigl(-2\sin(2t),\;2\cos(2t),\;k\bigr).
A norma de r'(t) é
\big\lVert r'(t)\big\rVert = \sqrt{(-2\sin(2t))^2 + (2\cos(2t))^2 + k^2} = \sqrt{4\bigl(\sin^2(2t)+\cos^2(2t)\bigr) + k^2} = \sqrt{4 + k^2},
que é constante em t.

Passo 3

O comprimento da curva fica
L = \int_{0}^{4\pi} \sqrt{4 + k^2}\,dt = 4\pi\,\sqrt{4 + k^2}.
Como queremos L=12\pi, igualamos
4\pi\,\sqrt{4 + k^2} \;=\;12\pi \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{4 + k^2} \;=\;3 \quad\Longrightarrow\quad 4 + k^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad k^2 = 5.

Resposta

\displaystyle k = \sqrt{5}.

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