r(t)=(\cos (2 t), \operatorname{sen}(2 t), k t), t \in[0,4 \pi],
onde k é uma constante positiva. Calcule o valor de k sabendo que o comprimento da curva é 12 \pi.
Passo 1
Aqui temos a curva parametrizada por r(t)=(\cos(2t),\,\sin(2t),\,k\,t) para t\in[0,4\pi] e queremos achar o valor de k>0 de modo que o comprimento dessa curva seja 12\pi. O conteúdo envolvido é comprimento de curva paramétrica, e vamos usar a fórmula
L = \int_{a}^{b} \big\lVert r'(t)\big\rVert \,dt.
Passo 2
Para aplicar a fórmula, primeiro calculamos a derivada vetorial: