Calcule o comprimento de arco da curva parametrizada \sigma(t)=\left(\cos \left(t^{2}\right)\right., sen \left.\left(t^{2}\right)\right), no intervalo 0 \leq t \leq 2 \pi. Passo 1O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada \sigma(t) = \bigl(\cos(t^{2}),\,\sin(t^{2})\bigr), no intervalo 0 \le t \le 2\pi. O conteúdo que vamos usar é a fórmula de comprimento de arco para curvas paramétricas em \mathbb{R}^2: L = \int_{a}^{b} \bigl\|\sigma'(t)\bigr\|\,dt. Passo 2Vamos calcular a derivada \sigma'(t) usando a regra da cadeia em cada componente. Para a primeira componente \cos(t^{2}), \frac{d}{dt}\cos(t^{2}) = -\sin(t^{2}) \cdot 2t. Para a segunda componente \sin(t^{2}), \frac{d}{dt}\sin(t^{2}) = \cos(t^{2}) \cdot 2t. Logo, \sigma'(t) = \bigl(-2t\,\sin(t^{2}),\;2t\,\cos(t^{2})\bigr). Passo 3Agora calculamos a norma de \sigma'(t): \bigl\|\sigma'(t)\bigr\| = \sqrt{\bigl(-2t\,\sin(t^{2})\bigr)^{2} + \bigl(2t\,\cos(t^{2})\bigr)^{2}} = \sqrt{4t^{2}\bigl(\sin^{2}(t^{2})+\cos^{2}(t^{2})\bigr)} = \sqrt{4t^{2}} = 2t. Passo 4Substituindo na integral do comprimento de arco, obtemos L = \int_{0}^{2\pi} 2t \,dt = \bigl[t^{2}\bigr]_{0}^{2\pi} = (2\pi)^{2} - 0 = 4\pi^{2}. RespostaO comprimento de arco da curva é 4\pi^{2}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosAplique o método de passo múltiplo y_{n+2}-y_{n+1}=h\left(-\frac{1}{2} f_{n}+\frac{3}{2} f_{n+1}\right) para estimar o valor de y(0.2) do problema \frac{d y}{d t}=-\frac{1}{2} y+t sujeito a y(t=0)=1. Considere h=0.1. Se necessário, utilize informaçōes do exercicio anterior para inicializar o método. Q 22. O que é um dipolo elétrico? Dê um exemplo comum de um dipolo elétrico. \qquad \qquad \qquad \qquad Seja C uma curva parametrizada por r(t)=(\cos (2 t), \operatorname{sen}(2 t), k t), t \in[0,4 \pi], onde k é uma constante positiva. Calcule o valor de k sabendo que o comprimento da curva é 12 \pi. Considere a curva espacial (espiral) parametrizada por \gamma(t)=\left(e^{-t} \cos t, e^{-t} \operatorname{sen} t, e^{-t}\right), t \in \mathbb{R}. (a) Calcule o comprimento de arco entre \gamma(0) e \gamma(t), para t>0. (b) Mostre que o comprimento do arco entre \gamma(0) e \gamma(t) tem um limite finito quando t \rightarrow+\infty.