Calcule o comprimento de arco da curva parametrizada \sigma(t)=\left(\cos \left(t^{2}\right)\right., sen \left.\left(t^{2}\right)\right), no intervalo 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada
\sigma(t) = \bigl(\cos(t^{2}),\,\sin(t^{2})\bigr),
no intervalo 0 \le t \le 2\pi.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula de comprimento de arco para curvas paramétricas em \mathbb{R}^2:
L = \int_{a}^{b} \bigl\|\sigma'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Vamos calcular a derivada \sigma'(t) usando a regra da cadeia em cada componente.
Para a primeira componente \cos(t^{2}),
\frac{d}{dt}\cos(t^{2}) = -\sin(t^{2}) \cdot 2t.
Para a segunda componente \sin(t^{2}),
\frac{d}{dt}\sin(t^{2}) = \cos(t^{2}) \cdot 2t.
Logo,
\sigma'(t) = \bigl(-2t\,\sin(t^{2}),\;2t\,\cos(t^{2})\bigr).

Passo 3

Agora calculamos a norma de \sigma'(t):
\bigl\|\sigma'(t)\bigr\| = \sqrt{\bigl(-2t\,\sin(t^{2})\bigr)^{2} + \bigl(2t\,\cos(t^{2})\bigr)^{2}} = \sqrt{4t^{2}\bigl(\sin^{2}(t^{2})+\cos^{2}(t^{2})\bigr)} = \sqrt{4t^{2}} = 2t.

Passo 4

Substituindo na integral do comprimento de arco, obtemos
L = \int_{0}^{2\pi} 2t \,dt = \bigl[t^{2}\bigr]_{0}^{2\pi} = (2\pi)^{2} - 0 = 4\pi^{2}.

Resposta

O comprimento de arco da curva é 4\pi^{2}.

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