Aplique o método da Transformada de Laplace para calcular a solução y(t) das seguintes EDO(d) y^prime+2 y=f(t), y(0)=0 , onde f(t)=ccct, & se 0 <= t<1, 0, & se & t >= 1,

Passo 1

A gente tem a EDO y'+2y=f(t) com condição inicial y(0)=0. A força f(t) vale t em 0<= t<1 e zero depois. Para resolver, vamos usar a Transformada de Laplace, a propriedade de deslocamento (Heaviside) e frações parciais.

Passo 2

Aplicando Laplace na EDO: como y(0)=0, temos
Ly'=sY(s), $$
sY(s)+2Y(s)=F(s)
$$ sY(s)+2Y(s)=F(s)

Passo 3

Para achar F(s)= Lf(t), escrevemos
f(t)=tl[u(t)-u(t-1)r]
Então
F(s)= Lt- Lt,u(t-1)=1s^2-e^-sl(1s^2+1sr)

Passo 4

Substituindo em Y(s)=F(s)/(s+2), separamos em duas partes:
Y(s)=underbrace1s^2(s+2)Y1(s)-e^-sunderbracel(1s^2(s+2)+1s(s+2)r)G(s)

Passo 5

Para inverter Y1(s)=1/(s^2(s+2)), fazemos frações parciais:
Assim
1s^2(s+2=-141s+121s^2+141s+2

Passo 6

Agora G(s)=1/(s^2(s+2))+1/(s(s+2))=(s+1)/[s^2(s+2)]. Frações parciais dão
s+1s^2(s+2)=141s+121s^2-141s+2
Logo
g(t)=14+12t-14e^-2t,
e a parte deslocada é
y2(t)=g(t-1),u(t-1)

Passo 7

Juntando as duas partes:
y(t)=y1(t)-y2(t)
Em outras palavras, para 0<= t<1 só vale y1(t), e para t>=1 subtraímos g(t-1).

Resposta

Para 0\le t<1:
y(t)= t2-14+14e^-2t
Para t\ge1:
y(t)=1+e^24,e^-2t

Exercícios relacionados