Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver as derivadas parciais de primeira ordem para a função $ f(x, y) = \arctan(x^{2} + y^{2}) + 2x^{y} + 10 $. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções que dependem de mais de uma variável e aplicar as regras de derivação adequadas para cada termo da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial em relação a uma variável significa que vamos derivar a função supondo que a outra variável seja constante. Vamos começar encontrando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da função $ f(x, y) $ em relação a $ x $:
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Derivada de $ \arctan(x^{2} + y^{2}) $ em relação a $ x $:Usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \arctan(u) $ é $ \frac{1}{1 + u^{2}} $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ x $.Aqui, $ u = x^{2} + y^{2} $, então $ \frac{du}{dx} = 2x $.Portanto, a derivada é:
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Derivada de $ 2x^{y} $ em relação a $ x $:Aqui, $ y $ é tratado como uma constante. A derivada de $ x^{y} $ em relação a $ x $ é $ yx^{y-1} $.Portanto, a derivada é:
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Derivada de $ 10 $ em relação a $ x $:Como $ 10 $ é uma constante, sua derivada é $ 0 $.
Passo 4
Agora, somamos as derivadas de cada termo para obter $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Passo 6
Derivamos cada termo da função $ f(x, y) $ em relação a $ y $:
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Derivada de $ \arctan(x^{2} + y^{2}) $ em relação a $ y $:Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \arctan(u) $ é $ \frac{1}{1 + u^{2}} $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ y $.Aqui, $ u = x^{2} + y^{2} $, então $ \frac{du}{dy} = 2y $.Portanto, a derivada é:
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Derivada de $ 2x^{y} $ em relação a $ y $:Aqui, $ x $ é tratado como uma constante. A derivada de $ x^{y} $ em relação a $ y $ é $ x^{y} \ln(x) $.Portanto, a derivada é:
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Derivada de $ 10 $ em relação a $ y $:Como $ 10 $ é uma constante, sua derivada é $ 0 $.
Passo 7
Agora, somamos as derivadas de cada termo para obter $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) $ são: