Aplique as operações elementares inversas em E_{1}, E_{2}, E_{3}, o para retornar à matriz identidade. Podemos afirmar que “Toda matriz elementar é invertível”?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Aplicar as operações elementares inversas em E_{1}, E_{2}, E_{3} para retornar à matriz identidade (ou seja, explicar como “desfazer” uma sequência de operações elementares).
Responder se podemos afirmar que “Toda matriz elementar é invertível”.
As informações dadas são apenas que existem três matrizes elementares E_{1},E_{2},E_{3}. Não foram fornecidos os valores numéricos dessas matrizes, então a resolução será feita de forma geral e algébrica, mostrando o procedimento que funciona para qualquer E_{1},E_{2},E_{3}.
Passo 2
O que é uma matriz elementar?
Definição simples e prática: uma matriz elementar é a matriz que se obtém ao aplicar UMA única operação elementar de linha (ou coluna) à matriz identidade. Existem exatamente três tipos de operações elementares de linhas, e cada tipo gera um tipo correspondente de matriz elementar:
Trocar duas linhas: ex. trocar a linha i com a linha j.
Multiplicar uma linha por um escalar não nulo k (ou seja, k\neq0).
Somar a uma linha j um múltiplo c de outra linha i (com i\neq j).
Observação prática: multiplicar uma matriz A à esquerda por uma matriz elementar E equivale a aplicar à A a operação de linha correspondente a E. Por exemplo, E A é a matriz que se obtém aplicando a operação de linha representada por E sobre A.
Passo 3
Como “desfazer” (inverter) uma operação elementar?
Cada operação elementar tem uma operação inversa explícita:
Trocar a linha i com j é invertido trocando novamente i com j (a operação é sua própria inversa).
Multiplicar a linha i por k (com k\neq0) é invertido multiplicando a mesma linha por 1/k.
Somar c vezes a linha i à linha j é invertido somar -c vezes a linha i à linha j.
Se E é a matriz elementar que realiza uma operação R sobre a identidade I, então existe uma matriz elementar E^{-1} que realiza a operação inversa R^{-1}, e aplicando E^{-1} a E obtemos I:
E^{-1}E = I.
Isto mostra que todo E tem inverso (veremos exemplos nos passos seguintes).
Passo 4
Regra para uma sequência de operações: ordem inversa para desfazer.
Se a sequência de operações elementares aplicadas foi, na ordem, representada por E_{1}, depois E_{2}, depois E_{3}, então a matriz resultante (aplicadas sobre I ou sobre alguma A) aparece como produto à esquerda na mesma ordem: por exemplo, se partimos de I e aplicamos E_{1}, depois E_{2}, depois E_{3}, o resultado é
M = E_{3}E_{2}E_{1}.
Para retornar à matriz identidade basta aplicar as inversas nessa ordem inversa:
E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}E_{3}^{-1} \, (E_{3}E_{2}E_{1}) = I.
Portanto o procedimento prático na prova: para desfazer uma sequência de operações, aplique as operações inversas na ordem contrária.
Passo 5
Exemplo 1 — troca de linhas (tipo 1).
Considere a matriz elementar que troca a linha 1 com a linha 2 em \mathbb{R}^{3\times3}:
e verifica-se diretamente que D^{-1}D = I. Conclusão: multiplicação de linha por escalar não nulo gera matriz elementar invertível; o inverso também é elementar (multiplica a linha pelo inverso do escalar).]
Passo 7
Exemplo 3 — adicionar múltiplo de uma linha a outra (tipo 3).
Se a operação é “somar c vezes a linha 1 à linha 2”, a matriz elementar (em \mathbb{R}^{3\times3}) é
T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] c & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
A operação inversa é somar -c vezes a linha 1 à linha 2, ou seja, a matriz
(uma maneira curta de ver isto é escrever T=I + cE, onde E tem 1 apenas na posição (2,1); então E^{2}=0 e (I+cE)^{-1}=I-cE.)]
Passo 8
Conclusão prática para a primeira pergunta (como aplicar as inversas em E_{1},E_{2},E_{3}):
Calcule (ou escreva) o inverso de cada matriz elementar individualmente (seguindo os três casos acima).
Para desfazer a sequência E_{1} depois E_{2} depois E_{3}, multiplique na ordem inversa pelos inversos:
E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}E_{3}^{-1}(E_{3}E_{2}E_{1}) = I.
Isto é, aplicar as operações elementares inversas em ordem contrária restaura a identidade.
Passo 9
Resposta intuitiva para a segunda pergunta (invertibilidade):
Cada uma das três operações elementares tem uma operação inversa do mesmo tipo (trocar linhas é auto-inversa; multiplicar por k\neq0 inverte-se por 1/k; somar c vezes outra linha inverte-se por somar -c vezes). Como cada matriz elementar corresponde a exatamente uma dessas operações, cada matriz elementar tem inverso e esse inverso é também uma matriz elementar. Logo, toda matriz elementar é invertível.
Resposta
Para desfazer E_{1},E_{2},E_{3}: aplicar as inversas na ordem contrária, i.e.
Sim. Toda matriz elementar é invertível; o inverso é também uma matriz elementar (troca de linhas é auto-inversa, escala por k\neq0 tem inverso escala por 1/k, soma de c vezes outra linha tem inverso soma de -c vezes).