Aplique as operações elementares inversas em E_{1}, E_{2}, E_{3}, o para retornar à matriz identidade. Podemos afirmar que “Toda matriz elementar é invertível”?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Aplicar as operações elementares inversas em E_{1}, E_{2}, E_{3} para retornar à matriz identidade (ou seja, explicar como “desfazer” uma sequência de operações elementares).
  • Responder se podemos afirmar que “Toda matriz elementar é invertível”.
As informações dadas são apenas que existem três matrizes elementares E_{1},E_{2},E_{3}. Não foram fornecidos os valores numéricos dessas matrizes, então a resolução será feita de forma geral e algébrica, mostrando o procedimento que funciona para qualquer E_{1},E_{2},E_{3}.

Passo 2

O que é uma matriz elementar?
Definição simples e prática: uma matriz elementar é a matriz que se obtém ao aplicar UMA única operação elementar de linha (ou coluna) à matriz identidade. Existem exatamente três tipos de operações elementares de linhas, e cada tipo gera um tipo correspondente de matriz elementar:
  1. Trocar duas linhas: ex. trocar a linha i com a linha j.
  2. Multiplicar uma linha por um escalar não nulo k (ou seja, k\neq0).
  3. Somar a uma linha j um múltiplo c de outra linha i (com i\neq j).
Observação prática: multiplicar uma matriz A à esquerda por uma matriz elementar E equivale a aplicar à A a operação de linha correspondente a E. Por exemplo, E A é a matriz que se obtém aplicando a operação de linha representada por E sobre A.

Passo 3

Como “desfazer” (inverter) uma operação elementar?
  • Cada operação elementar tem uma operação inversa explícita:
    • Trocar a linha i com j é invertido trocando novamente i com j (a operação é sua própria inversa).
    • Multiplicar a linha i por k (com k\neq0) é invertido multiplicando a mesma linha por 1/k.
    • Somar c vezes a linha i à linha j é invertido somar -c vezes a linha i à linha j.
Se E é a matriz elementar que realiza uma operação R sobre a identidade I, então existe uma matriz elementar E^{-1} que realiza a operação inversa R^{-1}, e aplicando E^{-1} a E obtemos I:
E^{-1}E = I.
Isto mostra que todo E tem inverso (veremos exemplos nos passos seguintes).

Passo 4

Regra para uma sequência de operações: ordem inversa para desfazer.
Se a sequência de operações elementares aplicadas foi, na ordem, representada por E_{1}, depois E_{2}, depois E_{3}, então a matriz resultante (aplicadas sobre I ou sobre alguma A) aparece como produto à esquerda na mesma ordem: por exemplo, se partimos de I e aplicamos E_{1}, depois E_{2}, depois E_{3}, o resultado é
M = E_{3}E_{2}E_{1}.
Para retornar à matriz identidade basta aplicar as inversas nessa ordem inversa:
E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}E_{3}^{-1} \, (E_{3}E_{2}E_{1}) = I.
Portanto o procedimento prático na prova: para desfazer uma sequência de operações, aplique as operações inversas na ordem contrária.

Passo 5

Exemplo 1 — troca de linhas (tipo 1).
Considere a matriz elementar que troca a linha 1 com a linha 2 em \mathbb{R}^{3\times3}:
P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Multiplicar P por uma matriz à esquerda troca as linhas 1 e 2. Se aplicarmos a mesma troca novamente, voltamos ao original. Algebraicamente,
P\cdot P = I.
Logo P^{-1}=P. Conclusão: operação de troca é invertível e o inverso é da mesma forma (uma matriz elementar do mesmo tipo).]

Passo 6

Exemplo 2 — escala de linha (tipo 2).
Considere multiplicar a linha 1 por um escalar k, com k\neq0. A matriz elementar é (em \mathbb{R}^{3\times3}):
D = \begin{pmatrix} k & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O inverso dessa operação é multiplicar a mesma linha por 1/k. A matriz inversa é
D^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{k} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
e verifica-se diretamente que D^{-1}D = I. Conclusão: multiplicação de linha por escalar não nulo gera matriz elementar invertível; o inverso também é elementar (multiplica a linha pelo inverso do escalar).]

Passo 7

Exemplo 3 — adicionar múltiplo de uma linha a outra (tipo 3).
Se a operação é “somar c vezes a linha 1 à linha 2”, a matriz elementar (em \mathbb{R}^{3\times3}) é
T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] c & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
A operação inversa é somar -c vezes a linha 1 à linha 2, ou seja, a matriz
T^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -\,c & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Multiplicando:
T^{-1}T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -\,c & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] c & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I.
(uma maneira curta de ver isto é escrever T=I + cE, onde E tem 1 apenas na posição (2,1); então E^{2}=0 e (I+cE)^{-1}=I-cE.)]

Passo 8

Conclusão prática para a primeira pergunta (como aplicar as inversas em E_{1},E_{2},E_{3}):
  • Calcule (ou escreva) o inverso de cada matriz elementar individualmente (seguindo os três casos acima).
  • Para desfazer a sequência E_{1} depois E_{2} depois E_{3}, multiplique na ordem inversa pelos inversos:
E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}E_{3}^{-1}(E_{3}E_{2}E_{1}) = I.
Isto é, aplicar as operações elementares inversas em ordem contrária restaura a identidade.

Passo 9

Resposta intuitiva para a segunda pergunta (invertibilidade):
Cada uma das três operações elementares tem uma operação inversa do mesmo tipo (trocar linhas é auto-inversa; multiplicar por k\neq0 inverte-se por 1/k; somar c vezes outra linha inverte-se por somar -c vezes). Como cada matriz elementar corresponde a exatamente uma dessas operações, cada matriz elementar tem inverso e esse inverso é também uma matriz elementar. Logo, toda matriz elementar é invertível.

Resposta

Para desfazer E_{1},E_{2},E_{3}: aplicar as inversas na ordem contrária, i.e.
E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}E_{3}^{-1}(E_{3}E_{2}E_{1})=I.
Sim. Toda matriz elementar é invertível; o inverso é também uma matriz elementar (troca de linhas é auto-inversa, escala por k\neq0 tem inverso escala por 1/k, soma de c vezes outra linha tem inverso soma de -c vezes).

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