Considere I_{3}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]. Determine as matrizes E_{1}, E_{2}, E_{3} que resultam das seguintes operações em I_{3} :
L_{2} \leftrightarrow L_{3}

Passo 1

O enunciado dá a matriz identidade de ordem 3
I_{3}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
e pede para determinar as matrizes elementares resultantes de operações de permutação de linhas. Foi indicada a operação L_{2}\leftrightarrow L_{3}. Para ficar completo e didático, vou apresentar as três matrizes elementares obtidas ao trocar cada par de linhas em I_{3}:
  • trocar L_{1}\leftrightarrow L_{2};
  • trocar L_{1}\leftrightarrow L_{3};
  • trocar L_{2}\leftrightarrow L_{3} (a indicada no enunciado).]

Passo 2

Breve explicação do que é uma matriz elementar de permutação: uma matriz elementar associada a uma operação de troca de linhas é obtida aplicando essa troca diretamente em I_{3}. Ou seja, faz-se a permuta nas linhas de I_{3} e a matriz resultante é a matriz elementar E. Quando se multiplica uma matriz qualquer A à esquerda por essa matriz elementar, E A, o efeito é trocar as mesmas linhas em A.

Passo 3

Construção de E_{1} (troca L_{1}\leftrightarrow L_{2}):
Começa-se de I_{3} e troca-se a primeira linha com a segunda. Assim as linhas passam a ser, em ordem:
linha 1: (0,1,0), linha 2: (1,0,0), linha 3: (0,0,1).
Logo
E_{1}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Construção de E_{2} (troca L_{1}\leftrightarrow L_{3}):
Troca-se a primeira linha com a terceira de I_{3}. As linhas, em ordem, ficam:
linha 1: (0,0,1), linha 2: (0,1,0), linha 3: (1,0,0).
Portanto
E_{2}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Construção de E_{3} (troca L_{2}\leftrightarrow L_{3}, que é a operação pedida explicitamente):
Troca-se a segunda linha com a terceira de I_{3}. As linhas, em ordem, ficam:
linha 1: (1,0,0), linha 2: (0,0,1), linha 3: (0,1,0).
Assim
E_{3}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 0\end{pmatrix}.]

Resposta

E_{1}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
E_{2}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 0\end{pmatrix}
E_{3}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 0\end{pmatrix}]

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