Calcule cada um dos produtos a seguir sendo
as matrizes elementares do exercício 4 e a matriz
, a matriz do exercício 2 .
Passo 1
O enunciado pede calcular o produto matricial
, onde
são as matrizes elementares do exercício 4 e
é a matriz do exercício 2.
Informações dadas no enunciado que tenho aqui:
Informações dadas no enunciado que tenho aqui:
- A operação solicitada: calcular
. - As matrizes
e deveriam vir dos exercícios 4 e 2, respectivamente.
Informação que falta e que impede um cálculo numérico: as matrizes
e
não foram fornecidas nesta mensagem. Sem os valores/entradas dessas matrizes não é possível produzir o resultado numérico pedido.
Passo 2
O que são matrizes elementares (uma explicação didática e direta).
-
Uma matriz elementar é uma matriz obtida a partir da matriz identidade
através de uma única operação elementar sobre linhas. Essas operações são: - trocar duas linhas (ex.: trocar a linha
com a linha ); - multiplicar uma linha por um escalar
(ex.: substituir a linha por vezes a linha ); - adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha (ex.: substituir a linha
por ).
- trocar duas linhas (ex.: trocar a linha
-
Cada operação acima tem uma matriz elementar correspondente, obtida aplicando a operação em
. Por exemplo, se é : - Matriz que troca linhas
e : trocar as linhas e de . - Matriz que multiplica a linha
por : igual a exceto o elemento que vira . - Matriz que adiciona
vezes a linha à linha : igual a exceto na posição que vale .
- Matriz que troca linhas
Passo 3
Propriedade fundamental que facilita o cálculo (e que costuma cair em provas):
- Multiplicar uma matriz
à esquerda por uma matriz elementar corresponde a aplicar em a operação de linha que gerou . Ou seja, é exatamente a matriz que se obtém ao executar a operação de linhas associada a sobre . - Por exemplo, se
representa “trocar linha 1 com linha 2”, então é a matriz com suas linhas 1 e 2 trocadas. Se representa “adicionar 3 vezes a linha 1 à linha 2”, então é após essa operação de linha.
Breve justificativa (intuição): cada linha de
é combinação linear das linhas de
com coeficientes dados pela linha correspondente de
. Como a linha correspondente de
codifica exatamente a operação elementar (por exemplo, 1 em posição de uma linha original e
em outra), o produto reproduz a operação.
Passo 4
Como calcular na prática (passo a passo que você pode usar na prova):
- Passo A: Identifique qual operação de linha
representa. Para isso olhe para : - Se
tem uma linha idêntica a uma linha padrão de exceto duas linhas trocadas, então é uma troca de linhas. - Se
tem um elemento diagonal em vez de (na linha ), é uma multiplicação de linha por . - Se
é igual a exceto um elemento fora da diagonal na posição , então é "adicionar vezes a linha à linha ".
- Se
- Passo B: Aplique diretamente essa operação nas linhas de
. O resultado será . - Alternativa (se preferir multiplicar): compute o produto por definição: cada entrada
de é o produto escalar entre a linha de e a coluna de . Esse método dá o mesmo resultado, mas é mais trabalhoso do que aplicar a operação de linha diretamente.
Passo 5
Exemplo ilustrativo (não usa as suas matrizes — serve só para fixar a técnica):
- Tome
- Se a matriz elementar for a troca de linhas
então aplicando a operação “trocar linha 1 com linha 2” em
obtemos
- Se a matriz elementar for “adicionar 2 vezes a linha 1 à linha 2”,
então
porque a nova linha 2 é
.]
Passo 6
O que você deve fazer agora (prático, direto para a prova):
- Pegue a matriz
do exercício 4 e identifique qual operação de linha ela representa. - Pegue a matriz
do exercício 2 e aplique essa operação de linha em . - O resultado é
. Se preferir, confirme calculando cada entrada por multiplicação de linhas de por colunas de .
Força aí — se você me enviar os valores concretos de
e
eu faço o cálculo passo a passo e explico cada linha do produto.
Resposta
Não é possível calcular numericamente
porque as matrizes
(do exercício 4) e
(do exercício 2) não foram fornecidas. Em geral,
é a matriz obtida aplicando em
a operação de linha associada a
.