Calcule cada um dos produtos a seguir sendo E_{1}, E_{2}, E_{3} as matrizes elementares do exercício 4 e a matriz A, a matriz do exercício 2 .
E_{2} \cdot A

Passo 1

O enunciado pede calcular o produto matricial E_{2}\cdot A, onde E_{1},E_{2},E_{3} são as matrizes elementares do exercício 4 e A é a matriz do exercício 2.
Informações dadas no enunciado que tenho aqui:
  • A operação solicitada: calcular E_{2}\cdot A.
  • As matrizes E_{2} e A deveriam vir dos exercícios 4 e 2, respectivamente.
Informação que falta e que impede um cálculo numérico: as matrizes E_{2} e A não foram fornecidas nesta mensagem. Sem os valores/entradas dessas matrizes não é possível produzir o resultado numérico pedido.

Passo 2

O que são matrizes elementares (uma explicação didática e direta).
  • Uma matriz elementar é uma matriz obtida a partir da matriz identidade I através de uma única operação elementar sobre linhas. Essas operações são:
    1. trocar duas linhas (ex.: trocar a linha i com a linha j);
    2. multiplicar uma linha por um escalar \lambda\neq0 (ex.: substituir a linha i por \lambda vezes a linha i);
    3. adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha (ex.: substituir a linha i por \text{linha }i+\lambda\cdot\text{linha }j).
  • Cada operação acima tem uma matriz elementar correspondente, obtida aplicando a operação em I. Por exemplo, se I é n\times n:
    • Matriz que troca linhas i e j: trocar as linhas i e j de I.
    • Matriz que multiplica a linha i por \lambda: igual a I exceto o elemento (i,i) que vira \lambda.
    • Matriz que adiciona \lambda vezes a linha j à linha i: igual a I exceto na posição (i,j) que vale \lambda.

Passo 3

Propriedade fundamental que facilita o cálculo (e que costuma cair em provas):
  • Multiplicar uma matriz A à esquerda por uma matriz elementar E corresponde a aplicar em A a operação de linha que gerou E. Ou seja, E\cdot A é exatamente a matriz que se obtém ao executar a operação de linhas associada a E sobre A.
  • Por exemplo, se E representa “trocar linha 1 com linha 2”, então E\cdot A é a matriz A com suas linhas 1 e 2 trocadas. Se E representa “adicionar 3 vezes a linha 1 à linha 2”, então E\cdot A é A após essa operação de linha.
Breve justificativa (intuição): cada linha de E\cdot A é combinação linear das linhas de A com coeficientes dados pela linha correspondente de E. Como a linha correspondente de E codifica exatamente a operação elementar (por exemplo, 1 em posição de uma linha original e \lambda em outra), o produto reproduz a operação.

Passo 4

Como calcular na prática (passo a passo que você pode usar na prova):
  • Passo A: Identifique qual operação de linha E_{2} representa. Para isso olhe para E_{2}:
    • Se E_{2} tem uma linha idêntica a uma linha padrão de I exceto duas linhas trocadas, então é uma troca de linhas.
    • Se E_{2} tem um elemento diagonal \lambda em vez de 1 (na linha i), é uma multiplicação de linha por \lambda.
    • Se E_{2} é igual a I exceto um elemento \lambda fora da diagonal na posição (i,j), então é "adicionar \lambda vezes a linha j à linha i".
  • Passo B: Aplique diretamente essa operação nas linhas de A. O resultado será E_{2}\cdot A.
  • Alternativa (se preferir multiplicar): compute o produto por definição: cada entrada (i,k) de E_{2}\cdot A é o produto escalar entre a linha i de E_{2} e a coluna k de A. Esse método dá o mesmo resultado, mas é mais trabalhoso do que aplicar a operação de linha diretamente.

Passo 5

Exemplo ilustrativo (não usa as suas matrizes — serve só para fixar a técnica):
  • Tome
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}.
  • Se a matriz elementar for a troca de linhas
E=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},
então aplicando a operação “trocar linha 1 com linha 2” em A obtemos
E\cdot A=\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}.
  • Se a matriz elementar for “adicionar 2 vezes a linha 1 à linha 2”,
E'=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix},
então
E'\cdot A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]5 & 8\end{pmatrix},
porque a nova linha 2 é \text{linha}_2+2\cdot\text{linha}_1=(3,4)+2(1,2)=(5,8).]

Passo 6

O que você deve fazer agora (prático, direto para a prova):
  • Pegue a matriz E_{2} do exercício 4 e identifique qual operação de linha ela representa.
  • Pegue a matriz A do exercício 2 e aplique essa operação de linha em A.
  • O resultado é E_{2}\cdot A. Se preferir, confirme calculando cada entrada por multiplicação de linhas de E_{2} por colunas de A.
Força aí — se você me enviar os valores concretos de E_{2} e A eu faço o cálculo passo a passo e explico cada linha do produto.

Resposta

Não é possível calcular numericamente E_{2}\cdot A porque as matrizes E_{2} (do exercício 4) e A (do exercício 2) não foram fornecidas. Em geral, E_{2}\cdot A é a matriz obtida aplicando em A a operação de linha associada a E_{2}.

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