Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar a base dada de \mathbb{R}^{n} em uma base ortonormal:
B=\{(4,-3,0),(1,2,0),(0,0,4)\}.

Passo 1

O enunciado pede: aplicar o processo de Gram–Schmidt à base B de \mathbb{R}^{n} e obter uma base ortonormal. Os vetores dados são:
v_{1}=(4,-3,0),\qquad v_{2}=(1,2,0),\qquad v_{3}=(0,0,4).
O objetivo final é fornecer três vetores ortonormais e_{1},e_{2},e_{3} que formem uma base ortonormal gerada por B.

Passo 2

Explicação do método Gram–Schmidt (passo a passo, sem pular nada).
  • Começamos com vetores v_{1},v_{2},v_{3} linearmente independentes.
  • Construímos vetores u_{1},u_{2},u_{3} ortogonais (não necessariamente unitários) por:
u_{1}=v_{1}, \qquad u_{2}=v_{2}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{2}), \qquad u_{3}=v_{3}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{3})-\operatorname{proj}_{u_{2}}(v_{3}),
onde a projeção de w sobre u é dada por
\operatorname{proj}_{u}(w)=\frac{\langle w,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u,
e \langle x,y\rangle é o produto interno padrão em \mathbb{R}^{3}, isto é \langle x,y\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.
  • Depois de obter u_{i} ortogonais, normalizamos:
e_{i}=\frac{u_{i}}{\|u_{i}\|}, \qquad \|u\|=\sqrt{\langle u,u\rangle}.
Vou aplicar exatamente essas fórmulas aos vetores dados, mostrando cada conta.

Passo 3

Primeiro vetor:
u_{1}=v_{1}=(4,-3,0).
Norma de u_{1}:
\|u_{1}\|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}+0^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
Normalizando:
e_{1}=\frac{u_{1}}{\|u_{1}\|}=\frac{1}{5}(4,-3,0)=\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5},0\right).

Passo 4

Segundo vetor: calcular a projeção de v_{2} sobre e_{1} (usando e_{1} é conveniente porque já é unitário):
Produto interno
\langle v_{2},e_{1}\rangle = (1)\cdot\frac{4}{5} + (2)\cdot\left(-\frac{3}{5}\right) + 0\cdot 0 = \frac{4-6}{5} = -\frac{2}{5}.
Então a projeção é
\operatorname{proj}_{e_{1}}(v_{2})=\langle v_{2},e_{1}\rangle e_{1} = -\frac{2}{5}\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5},0\right)=\left(-\frac{8}{25},\frac{6}{25},0\right).
Agora
u_{2}=v_{2}-\operatorname{proj}_{e_{1}}(v_{2})=(1,2,0)-\left(-\frac{8}{25},\frac{6}{25},0\right)=\left(1+\frac{8}{25},\,2-\frac{6}{25},\,0\right).
Fazendo as contas com denominador 25:
u_{2}=\left(\frac{33}{25},\frac{44}{25},0\right)=\frac{1}{25}(33,44,0).
Norma de u_{2}:
\|u_{2}\|=\sqrt{\left(\frac{33}{25}\right)^{2}+\left(\frac{44}{25}\right)^{2}+0^{2}}=\frac{1}{25}\sqrt{33^{2}+44^{2}}=\frac{1}{25}\sqrt{1089+1936}.
\sqrt{1089+1936}=\sqrt{3025}=55,
portanto
\|u_{2}\|=\frac{55}{25}=\frac{11}{5}.
Normalizando:
e_{2}=\frac{u_{2}}{\|u_{2}\|}=\frac{\frac{1}{25}(33,44,0)}{\frac{11}{5}}=(33,44,0)\cdot\frac{1}{25}\cdot\frac{5}{11}.
Simplificando os fatores:
e_{2}=\left(\frac{33\cdot5}{275},\frac{44\cdot5}{275},0\right)=\left(\frac{165}{275},\frac{220}{275},0\right)=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5},0\right).
(Observação: os números simplificaram lindamente para \frac{3}{5} e \frac{4}{5}.)

Passo 5

Terceiro vetor:
Calcular projeções de v_{3}=(0,0,4) sobre e_{1} e e_{2}.
Produto com e_{1}:
\langle v_{3},e_{1}\rangle = 0\cdot\frac{4}{5}+0\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)+4\cdot 0 = 0.
Produto com e_{2}:
\langle v_{3},e_{2}\rangle = 0\cdot\frac{3}{5}+0\cdot\frac{4}{5}+4\cdot 0 = 0.
Como ambas as projeções são nulas, v_{3} já é ortogonal a e_{1} e e_{2}. Assim
u_{3}=v_{3}=(0,0,4).
Norma de u_{3}:
\|u_{3}\|=\sqrt{0^{2}+0^{2}+4^{2}}=4.
Normalizando:
e_{3}=\frac{u_{3}}{\|u_{3}\|}=\frac{1}{4}(0,0,4)=(0,0,1).

Passo 6

Verificação rápida de ortonormalidade:
  • Normas: \|e_{1}\|=1,\\ \|e_{2}\|=1,\\ \|e_{3}\|=1 (já vimos na normalização).
  • Ortogonalidade (produtos internos):
\langle e_{1},e_{2}\rangle = \frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5} + \left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\frac{4}{5} + 0\cdot 0 = \frac{12-12}{25}=0,
\langle e_{1},e_{3}\rangle = 0,\qquad \langle e_{2},e_{3}\rangle = 0.
Portanto \{e_{1},e_{2},e_{3}\} é uma base ortonormal.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5},0\right)
\displaystyle \left(\frac{3}{5},\frac{4}{5},0\right)
\displaystyle (0,0,1)

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