Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar a base dada de
em uma base ortonormal:
.
Passo 1
O enunciado pede: aplicar o processo de Gram–Schmidt à base
de
e obter uma base ortonormal. Os vetores dados são:
O objetivo final é fornecer três vetores ortonormais
que formem uma base ortonormal gerada por
.
Passo 2
Explicação do método Gram–Schmidt (passo a passo, sem pular nada).
- Começamos com vetores
linearmente independentes. - Construímos vetores
ortogonais (não necessariamente unitários) por:
onde a projeção de
sobre
é dada por
e
é o produto interno padrão em
, isto é
.
- Depois de obter
ortogonais, normalizamos:
Vou aplicar exatamente essas fórmulas aos vetores dados, mostrando cada conta.
Passo 3
Primeiro vetor:
Norma de
:
Normalizando:
Passo 4
Segundo vetor: calcular a projeção de
sobre
(usando
é conveniente porque já é unitário):
Produto interno
Produto interno
Então a projeção é
Agora
Fazendo as contas com denominador
:
Norma de
:
portanto
Normalizando:
Simplificando os fatores:
(Observação: os números simplificaram lindamente para
e
.)
Passo 5
Terceiro vetor:
Calcular projeções de sobre
e
.
Calcular projeções de
Produto com
:
Produto com
:
Como ambas as projeções são nulas,
já é ortogonal a
e
. Assim
Norma de
:
Normalizando:
Passo 6
Verificação rápida de ortonormalidade:
- Normas:
(já vimos na normalização). - Ortogonalidade (produtos internos):
Portanto
é uma base ortonormal.