Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar a base dada de \mathbb{R}^{n} em uma base ortonormal:
B=\{(2,1,-2),(1,2,2),(2,-2,1)\}.

Passo 1

O enunciado dá uma base B de \mathbb{R}^3 composta por três vetores e pede que eu aplique o processo de Gram–Schmidt para transformá‑la em uma base ortonormal. Informações fornecidas:
  • Vetores da base B:
    • a_1 = (2,1,-2).
    • a_2 = (1,2,2).
    • a_3 = (2,-2,1).
  • Pedido: encontrar uma base ortonormal \{e_1,e_2,e_3\} obtida a partir de B pelo processo de Gram–Schmidt.

Passo 2

Vou usar exatamente o procedimento Gram–Schmidt pedido. Primeiro explicação das fórmulas que vou aplicar (com calma, passo a passo):
  • Produto interno padrão em \mathbb{R}^3: para dois vetores x=(x_1,x_2,x_3) e y=(y_1,y_2,y_3),
\langle x,y\rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3.
Esse escalar é usado para medir ângulo, ortogonalidade e projeção.
  • Projeção de v sobre um vetor não nulo u:
\operatorname{proj}_{u}(v) = \frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
Aqui \langle v,u\rangle é o produto interno; \langle u,u\rangle é o quadrado da norma de u.
  • Gram–Schmidt (versão ortogonal seguida de normalização): dado a_1,a_2,a_3,
    • definir u_1 = a_1,
    • u_2 = a_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(a_2),
    • u_3 = a_3 - \operatorname{proj}_{u_1}(a_3) - \operatorname{proj}_{u_2}(a_3).
    • Depois normalizar: e_i = \dfrac{u_i}{\|u_i\|}, com \|u_i\|=\sqrt{\langle u_i,u_i\rangle}.
Agora aplico essas fórmulas aos vetores dados.

Passo 3

Cálculo do primeiro vetor ortogonal e sua normalização.
  • Tomo u_1 = a_1 = (2,1,-2).
  • Calculo \langle u_1,u_1\rangle:
\langle u_1,u_1\rangle = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9.
Portanto \|u_1\| = \sqrt{9} = 3.
  • Normalizo para obter e_1:
e_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|} = \frac{1}{3}(2,1,-2) = \left(\frac{2}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right).
Observação didática: normalizar significa simplesmente dividir cada componente do vetor pela sua norma; isso garante \|e_1\|=1.

Passo 4

Cálculo do segundo vetor ortogonal u_2.
  • Primeiro calculo o produto interno \langle a_2,u_1\rangle:
\langle a_2,u_1\rangle = 1\cdot 2 + 2\cdot 1 + 2\cdot(-2) = 2 + 2 -4 = 0.
Como \langle a_2,u_1\rangle = 0, a projeção de a_2 sobre u_1 é nula:
\operatorname{proj}_{u_1}(a_2) = \frac{0}{\langle u_1,u_1\rangle} u_1 = 0.
  • Então
u_2 = a_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(a_2) = a_2 - 0 = a_2 = (1,2,2).
  • Calculo \langle u_2,u_2\rangle:
\langle u_2,u_2\rangle = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9,
logo \|u_2\| = 3.
  • Normalizo para obter e_2:
e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = \frac{1}{3}(1,2,2) = \left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right).
Comentário didático: o fato de \langle a_2,u_1\rangle=0 indica que a_2 já é ortogonal a a_1, portanto não precisei subtrair nada; isso simplifica bastante o processo.

Passo 5

Cálculo do terceiro vetor ortogonal u_3.
  • Calculo \langle a_3,u_1\rangle:
\langle a_3,u_1\rangle = 2\cdot 2 + (-2)\cdot 1 + 1\cdot(-2) = 4 -2 -2 = 0.
Portanto \operatorname{proj}_{u_1}(a_3)=0.
  • Calculo \langle a_3,u_2\rangle (note que u_2=a_2):
\langle a_3,u_2\rangle = 2\cdot 1 + (-2)\cdot 2 + 1\cdot 2 = 2 -4 +2 = 0.
Portanto \operatorname{proj}_{u_2}(a_3)=0 também.
  • Assim
u_3 = a_3 - \operatorname{proj}_{u_1}(a_3) - \operatorname{proj}_{u_2}(a_3) = a_3 - 0 - 0 = a_3 = (2,-2,1).
  • Calculo \langle u_3,u_3\rangle:
\langle u_3,u_3\rangle = 2^2 + (-2)^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9,
logo \|u_3\| = 3.
  • Normalizo para obter e_3:
e_3 = \frac{u_3}{\|u_3\|} = \frac{1}{3}(2,-2,1) = \left(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right).
Observação didática: neste caso todos os produtos internos entre os a_i diferentes deram zero, o que significa que a base original já era ortogonal; Gram–Schmidt apenas normalizou cada vetor.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança):
  • Produto interno entre e_1 e e_2:
\langle e_1,e_2\rangle = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3} + \left(-\frac{2}{3}\right)\cdot\frac{2}{3} = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} - \frac{4}{9} = 0.
  • Produto interno entre e_1 e e_3:
\langle e_1,e_3\rangle = \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right) + \left(-\frac{2}{3}\right)\cdot\frac{1}{3} = \frac{4}{9} - \frac{2}{9} - \frac{2}{9} = 0.
  • Produto interno entre e_2 e e_3:
\langle e_2,e_3\rangle = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3} + \frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right) + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{9} - \frac{4}{9} + \frac{2}{9} = 0.
  • Normas:
\|e_i\|^2 = 1 \quad\text{(cada \(e_i\) foi obtido dividindo por norma \(3\))}.
Esses cálculos confirmam que \{e_1,e_2,e_3\} é de fato uma base ortonormal.

Resposta

\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3},-\dfrac{2}{3}\right)
\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}\right)
\left(\dfrac{2}{3},-\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3}\right)

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