Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar a base dada de
em uma base ortonormal:
.
Passo 1
O enunciado dá uma base
de
composta por três vetores e pede que eu aplique o processo de Gram–Schmidt para transformá‑la em uma base ortonormal. Informações fornecidas:
- Vetores da base
: -
. -
. -
.
-
- Pedido: encontrar uma base ortonormal
obtida a partir de pelo processo de Gram–Schmidt.
Passo 2
Vou usar exatamente o procedimento Gram–Schmidt pedido. Primeiro explicação das fórmulas que vou aplicar (com calma, passo a passo):
- Produto interno padrão em
: para dois vetores e ,
Esse escalar é usado para medir ângulo, ortogonalidade e projeção.
- Projeção de
sobre um vetor não nulo :
Aqui
é o produto interno;
é o quadrado da norma de
.
- Gram–Schmidt (versão ortogonal seguida de normalização): dado
, - definir
, -
, -
. - Depois normalizar:
, com .
- definir
Agora aplico essas fórmulas aos vetores dados.
Passo 3
Cálculo do primeiro vetor ortogonal e sua normalização.
-
Tomo
. -
Calculo
:
Portanto
.
- Normalizo para obter
:
Observação didática: normalizar significa simplesmente dividir cada componente do vetor pela sua norma; isso garante
.
Passo 4
Cálculo do segundo vetor ortogonal
.
- Primeiro calculo o produto interno
:
Como
, a projeção de
sobre
é nula:
- Então
- Calculo
:
logo
.
- Normalizo para obter
:
Comentário didático: o fato de
indica que
já é ortogonal a
, portanto não precisei subtrair nada; isso simplifica bastante o processo.
Passo 5
Cálculo do terceiro vetor ortogonal
.
- Calculo
:
Portanto
.
- Calculo
(note que ):
Portanto
também.
- Assim
- Calculo
:
logo
.
- Normalizo para obter
:
Observação didática: neste caso todos os produtos internos entre os
diferentes deram zero, o que significa que a base original já era ortogonal; Gram–Schmidt apenas normalizou cada vetor.
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança):
- Produto interno entre
e :
- Produto interno entre
e :
- Produto interno entre
e :
- Normas:
Esses cálculos confirmam que
é de fato uma base ortonormal.