Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar a base dada de \mathbb{R}^{n} em uma base ortonormal:
B=\{(1,0,0),(1,1,1),(1,-1,-1)\}.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt à família de vetores
B=\{(1,0,0),(1,1,1),(1,-1,-1)\},
transformando-a em uma base ortonormal. Informações relevantes fornecidas:
  • Os vetores são \,v_1=(1,0,0),\;v_2=(1,1,1),\;v_3=(1,-1,-1).
  • A tarefa é aplicar Gram–Schmidt (produzir vetores ortogonais e depois normalizá‑los).
  • É preciso verificar linearidade/independência dos vetores se isso aparecer na construção.

Passo 2

Breve explicação do método (fórmulas e significado das quantidades).
  • Produtos internos e norma: para vetores x,y\in\mathbb{R}^3 usa‑se o produto interno usual \langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3. A norma é \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}.
  • Gram–Schmidt (forma prática): dada uma sequência v_1,v_2,\dots, define‑se uma sequência ortogonal u_1,u_2,\dots por
u_1 = v_1, \qquad u_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1}\mathrm{proj}_{u_j}(v_k)
onde
\mathrm{proj}_{u_j}(v_k)=\frac{\langle v_k,u_j\rangle}{\langle u_j,u_j\rangle}\,u_j.
Depois obtém‑se uma base ortonormal normalizando cada u_j\neq 0 por e_j=\dfrac{u_j}{\|u_j\|}.
  • Interpretação prática: cada u_k é o componente de v_k que sobra quando se remove tudo que estava nos vetores anteriores; se u_k=0 então v_k é combinação linear dos anteriores (dependência linear).

Passo 3

Aplicando ao primeiro vetor.
  • Tome v_1=(1,0,0).
  • Definimos u_1=v_1=(1,0,0).
  • Calcule a norma:
\langle u_1,u_1\rangle = 1^2+0^2+0^2=1,\qquad \|u_1\|=1.
  • Normalizando:
e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|}=(1,0,0).
Explicação curta: v_1 já tem norma 1, então e_1 é simplesmente v_1.

Passo 4

Aplicando ao segundo vetor.
  • Tome v_2=(1,1,1).
  • Calcule a projeção de v_2 sobre u_1:
\langle v_2,u_1\rangle = 1\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot0 = 1, \qquad \langle u_1,u_1\rangle = 1.
Logo
\mathrm{proj}_{u_1}(v_2)=\frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1 = 1\cdot(1,0,0)=(1,0,0).
  • Subtrai‑se essa projeção de v_2 para obter u_2:
u_2 = v_2 - \mathrm{proj}_{u_1}(v_2)=(1,1,1)-(1,0,0)=(0,1,1).
  • Calcule a norma de u_2:
\langle u_2,u_2\rangle = 0^2+1^2+1^2=2,\qquad \|u_2\|=\sqrt{2}.
  • Normalizando:
e_2=\frac{u_2}{\|u_2\|}=\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Comentário didático: e_2 é unitário e orthogonal a e_1 porque removemos de v_2 a componente na direção de u_1.

Passo 5

Aplicando ao terceiro vetor e interpretação do resultado.
  • Tome v_3=(1,-1,-1).
  • Primeiro projete em u_1:
\langle v_3,u_1\rangle = 1\cdot1 + (-1)\cdot0 + (-1)\cdot0 = 1,
portanto \mathrm{proj}_{u_1}(v_3) = (1,0,0).
  • Subtrai‑se isso de v_3:
v_3 - \mathrm{proj}_{u_1}(v_3) = (1,-1,-1)-(1,0,0)=(0,-1,-1).
  • Agora projete v_3 em u_2=(0,1,1). Calcule os produtos internos:
\langle v_3,u_2\rangle = 0\cdot0 + (-1)\cdot1 + (-1)\cdot1 = -2, \qquad \langle u_2,u_2\rangle = 2.
Logo
\mathrm{proj}_{u_2}(v_3)=\frac{\langle v_3,u_2\rangle}{\langle u_2,u_2\rangle}u_2 = \frac{-2}{2}\,u_2 = -1\cdot(0,1,1)=(0,-1,-1).
  • Subtraindo essa projeção do resultado anterior:
u_3 = v_3 - \mathrm{proj}_{u_1}(v_3) - \mathrm{proj}_{u_2}(v_3) = (0,-1,-1)-(0,-1,-1)=(0,0,0).
Interpretação didática e consequência: u_3=0 significa que v_3 é combinação linear de v_1 e v_2; portanto os três vetores não são independentes. Em outras palavras, B não é uma base de \mathbb{R}^3 (é apenas um gerador de um subespaço de dimensão 2). O processo de Gram–Schmidt fornece, então, apenas dois vetores ortonormais não nulos: e_1 e e_2.

Passo 6

Conclusão prática e sugestão para completar até uma base ortonormal de \mathbb{R}^3 (se desejado).
  • A partir de B obtemos a base ortonormal do subespaço gerado por B:
e_1=(1,0,0),\qquad e_2=\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
  • Se for preciso uma base ortonormal completa de \mathbb{R}^3, pode‑se escolher qualquer vetor unitário e_3 ortogonal a e_1 e e_2. Um exemplo simples é
e_3=\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right),
que satisfaz \langle e_3,e_1\rangle=0, \langle e_3,e_2\rangle=0 e \|e_3\|=1. Assim \{e_1,e_2,e_3\} é uma base ortonormal de \mathbb{R}^3.

Resposta

\{(1,0,0),\;(0,\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}})\}
\{(1,0,0),\;(0,\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}),\;(0,\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}})\}

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