Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar a base dada de
em uma base ortonormal:
.
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt à família de vetores
transformando-a em uma base ortonormal. Informações relevantes fornecidas:
- Os vetores são
. - A tarefa é aplicar Gram–Schmidt (produzir vetores ortogonais e depois normalizá‑los).
- É preciso verificar linearidade/independência dos vetores se isso aparecer na construção.
Passo 2
Breve explicação do método (fórmulas e significado das quantidades).
- Produtos internos e norma: para vetores
usa‑se o produto interno usual . A norma é . - Gram–Schmidt (forma prática): dada uma sequência
, define‑se uma sequência ortogonal por
onde
Depois obtém‑se uma base ortonormal normalizando cada
por
.
- Interpretação prática: cada
é o componente de que sobra quando se remove tudo que estava nos vetores anteriores; se então é combinação linear dos anteriores (dependência linear).
Passo 3
Aplicando ao primeiro vetor.
- Tome
. - Definimos
. - Calcule a norma:
- Normalizando:
Explicação curta:
já tem norma
, então
é simplesmente
.
Passo 4
Aplicando ao segundo vetor.
- Tome
. - Calcule a projeção de
sobre :
Logo
- Subtrai‑se essa projeção de
para obter :
- Calcule a norma de
:
- Normalizando:
Comentário didático:
é unitário e orthogonal a
porque removemos de
a componente na direção de
.
Passo 5
Aplicando ao terceiro vetor e interpretação do resultado.
- Tome
. - Primeiro projete em
:
portanto
.
- Subtrai‑se isso de
:
- Agora projete
em . Calcule os produtos internos:
Logo
- Subtraindo essa projeção do resultado anterior:
Interpretação didática e consequência:
significa que
é combinação linear de
e
; portanto os três vetores não são independentes. Em outras palavras,
não é uma base de
(é apenas um gerador de um subespaço de dimensão
). O processo de Gram–Schmidt fornece, então, apenas dois vetores ortonormais não nulos:
e
.
Passo 6
Conclusão prática e sugestão para completar até uma base ortonormal de
(se desejado).
- A partir de
obtemos a base ortonormal do subespaço gerado por :
- Se for preciso uma base ortonormal completa de
, pode‑se escolher qualquer vetor unitário ortogonal a e . Um exemplo simples é
que satisfaz
,
e
. Assim
é uma base ortonormal de
.