Aplique o processo de Gram-Schmidt aos vetores v_{1}=(1,0,0), v_{2}=(1,1,0), v_{3}= (1,1,1) para obter uma base ortonormal.

Passo 1

O enunciado fornece três vetores em \mathbb{R}^3:
v_{1}=(1,0,0),\qquad v_{2}=(1,1,0),\qquad v_{3}=(1,1,1).
O que se pede: aplicar o processo de Gram–Schmidt a \{v_{1},v_{2},v_{3}\} para obter uma base ortonormal de \mathbb{R}^3.

Passo 2

Vamos lembrar (com calma) as fórmulas e conceitos que usaremos — explicando cada símbolo e por que serve:
  • Produto interno (produto escalar) entre dois vetores x=(x_1,x_2,x_3) e y=(y_1,y_2,y_3) é
\langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.
Isto é só multiplicar coordenada a coordenada e somar — é a medida que usamos para ângulo e projeção.
  • Norma de um vetor x é
\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}.
A norma diz o “comprimento” do vetor.
  • Projeção ortogonal de v sobre um vetor não-nulo u é
\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
Isso nos dá a componente de v na direção de u.
  • Gram–Schmidt transforma uma família linearmente independente \{v_1,\dots,v_n\} numa família ortogonal \{u_1,\dots,u_n\} por:
u_1=v_1, \qquad u_k=v_k-\sum_{j=1}^{k-1}\operatorname{proj}_{u_j}(v_k)\quad\text{para }k\ge2.
Depois normalizamos cada u_k dividindo por sua norma para obter vetores unitários e_k=\dfrac{u_k}{\|u_k\|}. Vetores e_k formam uma base ortonormal.
Vou aplicar exatamente essas fórmulas aos vetores dados.

Passo 3

Começamos com v_1.
Defina
u_1=v_1=(1,0,0).
Calcule a norma \|u_1\|:
\|u_1\|=\sqrt{\langle u_1,u_1\rangle}=\sqrt{1^2+0^2+0^2}=\sqrt{1}=1.
Normalize para obter e_1:
e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|}=\frac{(1,0,0)}{1}=(1,0,0).
Comentário rápido: aqui já saiu um vetor unitário com comprimento 1 e alinhado ao eixo x.

Passo 4

Agora trate v_2=(1,1,0).
Primeiro calcule a projeção de v_2 sobre u_1:
\operatorname{proj}_{u_1}(v_2)=\frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1.
Calcule o produto interno \langle v_2,u_1\rangle:
\langle v_2,u_1\rangle = 1\cdot1 + 1\cdot0 + 0\cdot0 = 1.
Como \langle u_1,u_1\rangle=1, segue
\operatorname{proj}_{u_1}(v_2)=1\cdot u_1=(1,0,0).
Agora defina
u_2=v_2-\operatorname{proj}_{u_1}(v_2)=(1,1,0)-(1,0,0)=(0,1,0).
Calcule a norma \|u_2\|:
\|u_2\|=\sqrt{0^2+1^2+0^2}=1.
Normalize para obter e_2:
e_2=\frac{u_2}{\|u_2\|}=(0,1,0).
Interpretação: a componente de v_2 ortogonal a u_1 ficou ao longo do eixo y.

Passo 5

Agora v_3=(1,1,1).
Precisamos subtrair as projeções sobre u_1 e u_2:
u_3=v_3-\operatorname{proj}_{u_1}(v_3)-\operatorname{proj}_{u_2}(v_3).
Calcule \operatorname{proj}_{u_1}(v_3). Primeiro o produto interno:
\langle v_3,u_1\rangle = 1\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot0 = 1.
Portanto
\operatorname{proj}_{u_1}(v_3)=1\cdot u_1=(1,0,0).
Calcule \operatorname{proj}_{u_2}(v_3). Primeiro o produto interno:
\langle v_3,u_2\rangle = 1\cdot0 + 1\cdot1 + 1\cdot0 = 1.
Como \langle u_2,u_2\rangle=1, segue
\operatorname{proj}_{u_2}(v_3)=1\cdot u_2=(0,1,0).
Agora subtraia:
u_3=(1,1,1)-(1,0,0)-(0,1,0)=(0,0,1).
Calcule a norma \|u_3\|:
\|u_3\|=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1.
Normalize para obter e_3:
e_3=\frac{u_3}{\|u_3\|}=(0,0,1).
Interpretação: a componente de v_3 ortogonal às duas primeiras ficou ao longo do eixo z.

Passo 6

Verificação de ortonormalidade (rápida e direta):
  • Normas: \|e_1\|=\|e_2\|=\|e_3\|=1.
  • Produtos internos entre pares distintos:
\langle e_1,e_2\rangle=0,\qquad \langle e_1,e_3\rangle=0,\qquad \langle e_2,e_3\rangle=0.
Logo \{e_1,e_2,e_3\} é uma base ortonormal de \mathbb{R}^3. Boa notícia: neste caso os vetores finais são exatamente a base canônica; aconteceu porque os v_i eram acumulativamente “triangulares” e simples.

Resposta

(1,0,0)
(0,1,0)
(0,0,1)

Exercícios relacionados