Aplique o processo de Gram-Schmidt aos vetores
para obter uma base ortonormal.
Passo 1
O enunciado fornece três vetores em
:
O que se pede: aplicar o processo de Gram–Schmidt a
para obter uma base ortonormal de
.
Passo 2
Vamos lembrar (com calma) as fórmulas e conceitos que usaremos — explicando cada símbolo e por que serve:
- Produto interno (produto escalar) entre dois vetores
e é
Isto é só multiplicar coordenada a coordenada e somar — é a medida que usamos para ângulo e projeção.
- Norma de um vetor
é
A norma diz o “comprimento” do vetor.
- Projeção ortogonal de
sobre um vetor não-nulo é
Isso nos dá a componente de
na direção de
.
- Gram–Schmidt transforma uma família linearmente independente
numa família ortogonal por:
Depois normalizamos cada
dividindo por sua norma para obter vetores unitários
. Vetores
formam uma base ortonormal.
Vou aplicar exatamente essas fórmulas aos vetores dados.
Vou aplicar exatamente essas fórmulas aos vetores dados.
Passo 3
Começamos com
.
Defina
Defina
Calcule a norma
:
Normalize para obter
:
Comentário rápido: aqui já saiu um vetor unitário com comprimento
e alinhado ao eixo
.
Passo 4
Agora trate
.
Primeiro calcule a projeção de sobre
:
Primeiro calcule a projeção de
Calcule o produto interno
:
Como
, segue
Agora defina
Calcule a norma
:
Normalize para obter
:
Interpretação: a componente de
ortogonal a
ficou ao longo do eixo
.
Passo 5
Agora
.
Precisamos subtrair as projeções sobre e
:
Precisamos subtrair as projeções sobre
Calcule
. Primeiro o produto interno:
Portanto
Calcule
. Primeiro o produto interno:
Como
, segue
Agora subtraia:
Calcule a norma
:
Normalize para obter
:
Interpretação: a componente de
ortogonal às duas primeiras ficou ao longo do eixo
.
Passo 6
Verificação de ortonormalidade (rápida e direta):
- Normas:
. - Produtos internos entre pares distintos:
Logo
é uma base ortonormal de
. Boa notícia: neste caso os vetores finais são exatamente a base canônica; aconteceu porque os
eram acumulativamente “triangulares” e simples.