Mostre que B=\left\{1,1+x, 1+x+x^{2}, 1+x+x^{2}+x^{3}\right\} é uma base para \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) e encontre as coordenadas do polinômio p(x)=2-x+3 x^{2}-x^{3} em relação a esta base.
2.4.4. Considere o espaço S_{2}(\mathbb{R}) das matrizes simétricas 2 \times 2. Mostre que as matrizes A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right), e A_{3}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right) formam uma base para S_{2}(\mathbb{R}). Encontre as coordenadas da matriz M=\left(\begin{array}{cc}2 & -3 \\\\ -3 & 5\end{array}\right) nesta base.

Passo 1

O enunciado dá duas partes separadas. Vou listar claramente o que é pedido e o que é fornecido.
Parte A (polinômios):
  • Conjunto dado: B=\{\,1,\;1+x,\;1+x+x^{2},\;1+x+x^{2}+x^{3}\,\}.
  • Espaço: \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) (polinômios reais de grau \le 3).
  • Polinômio cujo vetor de coordenadas se quer: p(x)=2-x+3x^{2}-x^{3}.
  • O que pedir: (i) mostrar que B é uma base de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}); (ii) encontrar as coordenadas de p(x) em relação a B.
Parte B (matrizes simétricas):
  • Espaço: S_{2}(\mathbb{R}), matrizes simétricas 2\times2.
  • Matrizes dadas: A_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad A_{2}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\quad A_{3}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
  • Matriz cuja coordenada se quer: M=\begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]-3 & 5\end{pmatrix}.
  • O que pedir: (i) mostrar que A_{1},A_{2},A_{3} formam uma base de S_{2}(\mathbb{R}); (ii) encontrar as coordenadas de M nessa base.]

Passo 2

Conceitos fundamentais (mini-aula rápida e intuitiva):
  • Definição de base: um conjunto B de vetores de um espaço vetorial V é base se (i) os vetores geram V (span) e (ii) são linearmente independentes. Outra forma prática: se \#B=\dim V e os vetores são linearmente independentes (ou geram V), então são base.
  • Linearmente independente: uma combinação linear que dá o vetor zero só tem a solução trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
  • Coordenadas: dado uma base B=(b_1,\dots,b_n), representar v\in V como v=c_1b_1+\cdots+c_nb_n. O vetor coluna [v]_B=(c_1,\dots,c_n)^T são as coordenadas de v na base B.
  • Dica prática para polinômios: comparar coeficientes das mesmas potências de x é a maneira direta de obter as equações para os coeficientes desconhecidos.

Passo 3

Mostrar que [B) é base de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
  1. Lembrar dimensão: \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) tem dimensão 4 porque um polinômio de grau \le 3 é determinado pelos coeficientes de 1,x,x^{2},x^{3}. Assim qualquer base tem exatamente 4 vetores. Aqui \#B=4.
  2. Mostro agora que os elementos de B são linearmente independentes. Considere uma combinação linear que dê o polinômio zero:
\alpha_{1}\cdot 1+\alpha_{2}\cdot(1+x)+\alpha_{3}\cdot(1+x+x^{2})+\alpha_{4}\cdot(1+x+x^{2}+x^{3})\;=\;0\\ \text{(polinômio nulo)}.ô
Vamos expandir e agrupar por potências de x. O lado esquerdo é
(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4})\cdot 1 +(\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4})\cdot x +(\alpha_{3}+\alpha_{4})\cdot x^{2} +\alpha_{4}\cdot x^{3}.
Como isso é o polinômio nulo, cada coeficiente deve ser zero. Assim obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha_{4}=0,\\[4pt] \alpha_{3}+\alpha_{4}=0,\\[4pt] \alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}=0,\\[4pt] \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}=0. \end{cases}
Da primeira equação vem \alpha_{4}=0\]. Substituindo, a segunda dá \(\alpha_{3}=0. Substituindo, a terceira dá \alpha_{2}=0. Finalmente a quarta dá \alpha_{1}=0. Logo todos os \alpha_i são zero, prova de independência linear.
  1. Conclusão: como temos 4 vetores em um espaço de dimensão 4 e eles são linearmente independentes, B é uma base de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).]

Passo 4

Encontrar as coordenadas de [p(x)=2-x+3x{2}-x{3}) na base B.
Procuramos números c_{1},c_{2},c_{3},c_{4} tais que
c_{1}\cdot 1+c_{2}\cdot(1+x)+c_{3}\cdot(1+x+x^{2})+c_{4}\cdot(1+x+x^{2}+x^{3})=p(x).
Expandindo o lado esquerdo e agrupando termos, obtemos (como no passo anterior)
(c_{1}+c_{2}+c_{3}+c_{4})\cdot 1 + (c_{2}+c_{3}+c_{4})\cdot x + (c_{3}+c_{4})\cdot x^{2} + c_{4}\cdot x^{3}.
Devemos igualar coeficiente a coeficiente com p(x)=2-x+3x^{2}-x^{3}. Assim:
\begin{cases} c_{4} = -1 &\text{(coef. de }x^{3}),\\[4pt] c_{3}+c_{4} = 3 &\text{(coef. de }x^{2}),\\[4pt] c_{2}+c_{3}+c_{4} = -1 &\text{(coef. de }x),\\[4pt] c_{1}+c_{2}+c_{3}+c_{4} = 2 &\text{(coef. constante).} \end{cases}
Resolvendo de forma sequencial (triangular):
  • Da primeira equação c_{4}=-1\]. - Da segunda: \(c_{3}=3-c_{4}=3-(-1)=4.
    - Da terceira: c_{2}=-1-(c_{3}+c_{4})=-1-(4-1)=-1-3=-4. Atenção: revisar cálculo com calma — melhor calcular passo a passo:
    vamos recompor: c_{2}+c_{3}+c_{4}=-1. Substituindo c_{3}=4 e c_{4}=-1:
    c_{2}+4+(-1)=-1\Rightarrow c_{2}+3=-1\Rightarrow c_{2}=-4.
    - Da quarta: c_{1}=2-(c_{2}+c_{3}+c_{4}). Já calculamos c_{2}+c_{3}+c_{4}=-1, então c_{1}=2-(-1)=3.
(Observação: atenção às contas; se houver dúvida, sempre reavalie somas parciais. Aqui cada passo foi feito substituindo os valores já encontrados.)
Assim os coeficientes obtidos são c_{1}=3,\;c_{2}=-4,\;c_{3}=4,\;c_{4}=-1.
Vou checar rapidamente: recompondo
3\cdot 1 + (-4)(1+x) + 4(1+x+x^{2}) + (-1)(1+x+x^{2}+x^{3}).
Coeficiente constante: 3-4+4-1=2. Coeficiente de x: -4+4-1=-1. Coeficiente de x^{2}: 4-1=3. Coeficiente de x^{3}: -1. Está igual a p(x). Tudo consistente.
Portanto as coordenadas de p na base B são o vetor coluna
[p]_{B}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-4\\[4pt]4\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora a parte das matrizes: mostrar que A_{1},A_{2},A_{3} formam uma base de S_{2}(\mathbb{R}).
  1. Entender o espaço S_{2}(\mathbb{R}): uma matriz simétrica 2\times2 tem a forma geral
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix},
com a,b,c\in\mathbb{R}. Logo há três parâmetros livres, e \dim S_{2}(\mathbb{R})=3.
  1. Mostrar que A_{1},A_{2},A_{3} geram S_{2}(\mathbb{R}). Tome a,b,c\in\mathbb{R}. Considere a combinação
a\;A_{1}+b\;A_{2}+c\;A_{3} = a\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix}.
Assim qualquer matriz simétrica é combinação linear dessas três, então geram S_{2}(\mathbb{R}).
  1. Como há 3 vetores gerando um espaço de dimensão 3, eles formam uma base. (Alternativamente, poderia verificar independência diretamente: se \alpha_{1}A_{1}+\alpha_{2}A_{2}+\alpha_{3}A_{3}=0 então olhando pelas entradas obtém-se \alpha_{1}=0,\alpha_{2}=0,\alpha_{3}=0.)
Conclusão: A_{1},A_{2},A_{3} é uma base de S_{2}(\mathbb{R}).]

Passo 6

Encontrar as coordenadas de M=\begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]-3 & 5\end{pmatrix} na base \{A_{1},A_{2},A_{3}\}.
Pela decomposição geral do passo anterior, basta ler os parâmetros a,b,c da forma \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix}. Para M temos a=2,\;b=-3,\;c=5. Então
M = 2\,A_{1} + (-3)\,A_{2} + 5\,A_{3}.
Logo as coordenadas são
[M]_{\{A_{1},A_{2},A_{3}\}}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-3\\[4pt]5\end{pmatrix}.]

Resposta

B é uma base de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) e [p]_{B}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-4\\[4pt]4\\[4pt]-1\end{pmatrix}
A_{1},A_{2},A_{3} formam uma base de S_{2}(\mathbb{R}) e [M]_{\{A_{1},A_{2},A_{3}\}}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-3\\[4pt]5\end{pmatrix}]

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