Considere o espaço S_{2}(\mathbb{R}) das matrizes simétricas 2 \times 2. Mostre que as matrizes A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right), e A_{3}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right) formam uma base para S_{2}(\mathbb{R}). Encontre as coordenadas da matriz M=\left(\begin{array}{cc}2 & -3 \\\\ -3 & 5\end{array}\right) nesta base.

Passo 1

O enunciado dá o espaço \,S_{2}(\mathbb{R}) das matrizes simétricas 2\times2 e as matrizes
A_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad A_{2}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\qquad A_{3}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Pede-se:
  • mostrar que A_{1},A_{2},A_{3} formam uma base de \,S_{2}(\mathbb{R});
  • encontrar as coordenadas da matriz
M=\begin{pmatrix}2 & -3 \\[4pt] -3 & 5\end{pmatrix}
nessa base.
Informações relevantes fornecidas:
  • organização do espaço: uma matriz simétrica 2\times2 tem a forma \begin{pmatrix}a & b\\\ b & c\end{pmatrix} com a,b,c\in\mathbb{R};
  • as matrizes A_{1},A_{2},A_{3} estão explicitadas acima;
  • devemos verificar as duas propriedades necessárias para uma base: independência linear e geração (span).]

Passo 2

Lembrete rápido (o que significa ser base, explicado passo a passo):
  • Uma família \{A_{1},A_{2},A_{3}\} é uma base de um espaço vetorial se e somente se for linearmente independente e gera todo o espaço.
  • Linearmente independente significa: se \alpha_{1}A_{1}+\alpha_{2}A_{2}+\alpha_{3}A_{3}=0 (matriz nula), então \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0.
  • Gerar o espaço significa: todo elemento do espaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores da família. Aqui: qualquer matriz simétrica \begin{pmatrix}a & b\\\ b & c\end{pmatrix} deve ser expressável como \beta_{1}A_{1}+\beta_{2}A_{2}+\beta_{3}A_{3} para alguns escalares \beta_{i}.
Agora vamos verificar essas duas propriedades para A_{1},A_{2},A_{3}.

Passo 3

Prova de independência linear:
Suponha que existam escalares \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\in\mathbb{R} tais que
\alpha_{1}A_{1}+\alpha_{2}A_{2}+\alpha_{3}A_{3}=0.
Calcule a combinação linear explicitamente: usando as matrizes,
\alpha_{1}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} +\alpha_{2}\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} +\alpha_{3}\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha_{1} & \alpha_{2}\\[4pt]\alpha_{2} & \alpha_{3}\end{pmatrix}.
A igualdade com a matriz nula significa
\begin{pmatrix}\alpha_{1} & \alpha_{2}\\[4pt]\alpha_{2} & \alpha_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Igualando entradas correspondentes obtemos o sistema
\alpha_{1}=0,\qquad \alpha_{2}=0,\qquad \alpha_{3}=0.
Portanto a única combinação linear que dá a matriz nula é a trivial, logo A_{1},A_{2},A_{3} são linearmente independentes.]

Passo 4

Prova de que geram \,S_{2}(\mathbb{R}):
Tome uma matriz arbitrária simétrica
X=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix},\qquad a,b,c\in\mathbb{R}.
Considere a combinação linear
a\,A_{1}+b\,A_{2}+c\,A_{3}.
Calculando:
a\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} +c\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]b & c\end{pmatrix}=X.
Portanto qualquer matriz simétrica X pode ser escrita como combinação linear de A_{1},A_{2},A_{3}. Assim elas geram todo \,S_{2}(\mathbb{R}).]

Passo 5

Conclusão sobre a base:
Já demonstramos que A_{1},A_{2},A_{3} são linearmente independentes e geram \,S_{2}(\mathbb{R}). Logo \{A_{1},A_{2},A_{3}\} é uma base de \,S_{2}(\mathbb{R}).
Comentário didático breve: isso também coincide com a dimensão esperada do espaço (dimensão 3), porque uma matriz simétrica 2\times2 é determinada por três entradas independentes a,b,c.

Passo 6

Encontrar as coordenadas de M na base \{A_{1},A_{2},A_{3}\}:
Procuramos escalares x_{1},x_{2},x_{3} tais que
x_{1}A_{1}+x_{2}A_{2}+x_{3}A_{3}=M.
Escrevendo explicitamente:
\begin{pmatrix}x_{1} & x_{2}\\[4pt] x_{2} & x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]-3 & 5\end{pmatrix}.
Igualando entradas obtemos diretamente
x_{1}=2,\qquad x_{2}=-3,\qquad x_{3}=5.
Esses valores existem e são únicos porque já sabemos que a família é uma base (ou seja, as coordenadas em relação a uma base são únicas).]

Resposta

Formam uma base de S_{2}(\mathbb{R}).
(2,-3,5)

Exercícios relacionados