Considere o espaço S_{2}(\mathbb{R}) das matrizes simétricas 2 \times 2. Mostre que as matrizes A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right), e A_{3}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right) formam uma base para S_{2}(\mathbb{R}). Encontre as coordenadas da matriz M=\left(\begin{array}{cc}2 & -3 \\\\ -3 & 5\end{array}\right) nesta base.
Passo 1
O enunciado dá o espaço \,S_{2}(\mathbb{R}) das matrizes simétricas 2\times2 e as matrizes
organização do espaço: uma matriz simétrica 2\times2 tem a forma \begin{pmatrix}a & b\\\ b & c\end{pmatrix} com a,b,c\in\mathbb{R};
as matrizes A_{1},A_{2},A_{3} estão explicitadas acima;
devemos verificar as duas propriedades necessárias para uma base: independência linear e geração (span).]
Passo 2
Lembrete rápido (o que significa ser base, explicado passo a passo):
Uma família \{A_{1},A_{2},A_{3}\} é uma base de um espaço vetorial se e somente se for linearmente independente e gera todo o espaço.
Linearmente independente significa: se \alpha_{1}A_{1}+\alpha_{2}A_{2}+\alpha_{3}A_{3}=0 (matriz nula), então \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0.
Gerar o espaço significa: todo elemento do espaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores da família. Aqui: qualquer matriz simétrica \begin{pmatrix}a & b\\\ b & c\end{pmatrix} deve ser expressável como \beta_{1}A_{1}+\beta_{2}A_{2}+\beta_{3}A_{3} para alguns escalares \beta_{i}.
Agora vamos verificar essas duas propriedades para A_{1},A_{2},A_{3}.
Passo 3
Prova de independência linear:
Suponha que existam escalares \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\in\mathbb{R} tais que
Portanto qualquer matriz simétrica X pode ser escrita como combinação linear de A_{1},A_{2},A_{3}. Assim elas geram todo \,S_{2}(\mathbb{R}).]
Passo 5
Conclusão sobre a base:
Já demonstramos que A_{1},A_{2},A_{3} são linearmente independentes e geram \,S_{2}(\mathbb{R}). Logo \{A_{1},A_{2},A_{3}\} é uma base de \,S_{2}(\mathbb{R}).
Comentário didático breve: isso também coincide com a dimensão esperada do espaço (dimensão 3), porque uma matriz simétrica 2\times2 é determinada por três entradas independentes a,b,c.
Passo 6
Encontrar as coordenadas de M na base \{A_{1},A_{2},A_{3}\}:
Procuramos escalares x_{1},x_{2},x_{3} tais que