Aplique a regra da cadeia para determinar \frac{d f}{d t}, dadas as funções:
f(x, y)=\cos (3 x-2 y), x=\operatorname{sen}(t), y=\cos (t)

Passo 1

O problema pede a derivada em relação de t da função composta dada pelas informações:
f(x,y)=\cos(3x-2y),\qquad x=\operatorname{sen}(t),\qquad y=\cos(t).
Informações fornecidas:
\text{1) } f(x,y)=\cos(3x-2y).
\text{2) } x(t)=\operatorname{sen}(t).
\text{3) } y(t)=\cos(t).
O que nos pedem: calcular \dfrac{d f}{d t} (a derivada total de f em relação a t).

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A fórmula geral para uma função f(x,y) composta com x(t) e y(t) é
\frac{d f}{d t}= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{d y}{d t}.
Aqui:
\dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x, isto é, a derivada de f quando variamos x mantendo y fixo.
\dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial de f em relação a y, mantendo x fixo.
\dfrac{d x}{d t} e \dfrac{d y}{d t} são as derivadas das curvas x(t) e y(t).
Intuição rápida: a variação total de f quando t varia é a soma das contribuições vindas da variação de x e da variação de y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=\cos(3x-2y).
Defina u=3x-2y. Então f=\cos(u).
A derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u).
Agora use a regra da cadeia para obter as parciais:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d}{d x}\cos(3x-2y) = -\sin(3x-2y)\cdot\frac{d}{dx}(3x-2y).
Como \dfrac{d}{dx}(3x-2y)=3 (porque y é tratado como constante nas parciais), temos
\frac{\partial f}{\partial x} = -3\sin(3x-2y).
De modo semelhante,
\frac{\partial f}{\partial y} = -\sin(3x-2y)\cdot\frac{d}{dy}(3x-2y).
Como \dfrac{d}{dy}(3x-2y)=-2, obtemos
\frac{\partial f}{\partial y} = -\sin(3x-2y)\cdot(-2)=2\sin(3x-2y).

Passo 4

Agora calculamos \dfrac{d x}{d t} e \dfrac{d y}{d t} a partir de x(t) e y(t):
x(t)=\operatorname{sen}(t)\quad\Rightarrow\quad \frac{d x}{d t}=\cos(t).
y(t)=\cos(t)\quad\Rightarrow\quad \frac{d y}{d t}=-\sin(t).

Passo 5

Substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia:
\frac{d f}{d t}= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{d y}{d t}.
Substituindo as expressões obtidas:
\frac{d f}{d t}= \big(-3\sin(3x-2y)\big)\cdot\cos(t) + \big(2\sin(3x-2y)\big)\cdot\big(-\sin(t)\big).
Fatorando \sin(3x-2y):
\frac{d f}{d t}= \sin(3x-2y)\big(-3\cos(t)-2\sin(t)\big).
Finalmente, substituímos x=\operatorname{sen}(t) e y=\cos(t) no argumento:
3x-2y = 3\operatorname{sen}(t)-2\cos(t).
Então a forma final simplificada é
\frac{d f}{d t}= -\sin\big(3\operatorname{sen}(t)-2\cos(t)\big)\,\big(3\cos(t)+2\sin(t)\big).

Resposta

-\sin\big(3\operatorname{sen}(t)-2\cos(t)\big)\,\big(3\cos(t)+2\sin(t)\big)

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