Aplique a regra da cadeia para determinar
, dadas as funções:
Passo 1
O problema pede a derivada em relação de
da função composta dada pelas informações:
Informações fornecidas:
O que nos pedem: calcular
(a derivada total de
em relação a
).
Passo 2
Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A fórmula geral para uma função
composta com
e
é
Aqui:
é a derivada parcial de
em relação a
, isto é, a derivada de
quando variamos
mantendo
fixo.
é a derivada parcial de
em relação a
, mantendo
fixo.
e
são as derivadas das curvas
e
.
Intuição rápida: a variação total de quando
varia é a soma das contribuições vindas da variação de
e da variação de
.
Intuição rápida: a variação total de
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
.
Defina . Então
.
A derivada de em relação a
é
.
Agora use a regra da cadeia para obter as parciais:
Defina
A derivada de
Agora use a regra da cadeia para obter as parciais:
Como
(porque
é tratado como constante nas parciais), temos
De modo semelhante,
Como
, obtemos
Passo 4
Agora calculamos
e
a partir de
e
:
Passo 5
Substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia:
Substituindo as expressões obtidas:
Fatorando
:
Finalmente, substituímos
e
no argumento:
Então a forma final simplificada é