Determine os valores de máximos, mínimos locais ou pontos selas se existir, das funções abaixo:
Calcule os valores extremos de f, na região descrita por
f(x, y)=2 x^{2}+3 y^{2}-4 x-5, x^{2}+y^{2} \leq 16

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos\n
  • Pede: "Calcule os valores extremos de f na região x^{2}+y^{2}\le 16". Ou seja, queremos encontrar onde f atinge mínimos e máximos na região fechada e limitada (o disco de raio 4).\n
  • Função dada: f(x,y)=2x^{2}+3y^{2}-4x-5.\n
  • Região dada: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 16\} (disco fechado de raio 4).\n
  • Observação importante para usar depois: a região é compacta (fechada e limitada), e f é contínua — portanto f atinge mínimo e máximo na região.\n

Passo 2

Procurando pontos críticos no interior da região (onde x^{2}+y^{2}<16)\n
  • Para achar pontos críticos de f no interior, calculamos o gradiente e igualamos a zero. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:\n
\frac{\partial f}{\partial x}=4x-4,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=6y.\n
  • Igualando a zero temos o sistema\n
4x-4=0,\qquad 6y=0.\n
  • Da primeira equação vem 4x-4=0\Rightarrow x=1. Da segunda vem 6y=0\Rightarrow y=0.\n
  • Assim o único ponto crítico interior é (1,0). Agora verificamos se ele está dentro da região: 1^{2}+0^{2}=1\le 16, logo está no interior.\n

Passo 3

Classificação do ponto interior e cálculo de f(1,0) — mostrando um método muito prático (completar quadrados)\n
  • É útil completar quadrados para ver o comportamento da função. Reescrevendo f:\n
f(x,y)=2x^{2}-4x+3y^{2}-5.\n
  • Complete o quadrado em x: 2x^{2}-4x=2\bigl(x^{2}-2x\bigr)=2\bigl((x-1)^{2}-1\bigr)=2(x-1)^{2}-2.\n
  • Substituindo na expressão de f obtemos\n
f(x,y)=2(x-1)^{2}+3y^{2}-2-5=2(x-1)^{2}+3y^{2}-7.\n
  • Dessa forma vemos claramente que os termos 2(x-1)^{2} e 3y^{2} são sempre não-negativos, então a menor possível contribuição é 0, atingida quando x=1 e y=0.\n
  • Portanto f(1,0)=-7. Isso mostra que (1,0) é um mínimo global da função em toda a reta (e em particular na região dada). Em termos de classificação local, o fato de os coeficientes das quadráticas serem positivos ( 2>0 e 3>0) indica que a forma quadrática é positiva definida — logo é um mínimo local também.\n

Passo 4

Procura de extremos na fronteira x^{2}+y^{2}=16 usando multiplicadores de Lagrange (método e aplicação)\n
  • Ideia do método (rápido resumo didático): para maximizar/minimizar f sujeito à restrição g(x,y)=x^{2}+y^{2}-16=0, procuramos \lambda tal que\n
\nabla f=\lambda \nabla g,\n
ou seja, as derivadas parciais satisfazem\n
4x-4=2\lambda x,\qquad 6y=2\lambda y,\njunto com a restrição \,x^{2}+y^{2}=16.\n
  • Vamos resolver esse sistema. Das equações temos\n
4x-4=2\lambda x \quad\Rightarrow\quad 4x-4-2\lambda x=0 \quad\Rightarrow\quad (4-2\lambda)x=4,\n
e\n
6y=2\lambda y \quad\Rightarrow\quad (6-2\lambda)y=0.\n
  • Da segunda equação há duas possibilidades: \,y=0 ou \lambda=3.\n

Passo 5

Caso 1: y=0\n
  • Pela restrição x^{2}+0^{2}=16 obtemos x=\pm 4.\n
  • Verificamos se as equações de Lagrange são satisfeitas (para encontrar \lambda correspondente):\n
    • Para x=4: 4x-4=4\cdot 4-4=12. A equação 4x-4=2\lambda x fica 12=2\lambda\cdot 4\Rightarrow 12=8\lambda\Rightarrow \lambda=\tfrac{3}{2}. OK.\n
    • Para x=-4: 4x-4=4\cdot(-4)-4=-20. A equação dá -20=2\lambda\cdot(-4)\Rightarrow -20=-8\lambda\Rightarrow \lambda=\tfrac{5}{2}. OK.\n
  • Assim dois pontos candidatos na fronteira: (4,0) e (-4,0).\n

Passo 6

Caso 2: \lambda=3\n
  • Se \lambda=3, da primeira equação temos (4-2\lambda)x=4\Rightarrow(4-6)x=4\Rightarrow -2x=4\Rightarrow x=-2.\n- Pela restrição x^{2}+y^{2}=16 obtemos (-2)^{2}+y^{2}=16\Rightarrow 4+y^{2}=16\Rightarrow y^{2}=12\Rightarrow y=\pm 2\sqrt{3}.\n- Assim mais dois pontos candidatos: (-2,2\sqrt{3}) e (-2,-2\sqrt{3}).\n

Passo 7

Avaliação de f nos pontos críticos (interior e fronteira)\n
  • Para facilitar uso a expressão completada: f(x,y)=2(x-1)^{2}+3y^{2}-7.\n
  • Avaliando nos pontos:\n
    • No interior: f(1,0)=2(0)^{2}+3(0)^{2}-7=-7.\n
    • Na fronteira, (4,0): f(4,0)=2(4-1)^{2}+3\cdot 0^{2}-7=2\cdot 9-7=18-7=11.\n
    • Na fronteira, (-4,0): f(-4,0)=2(-4-1)^{2}+3\cdot 0^{2}-7=2\cdot 25-7=50-7=43.\n
    • Na fronteira, (-2,\pm 2\sqrt{3}): para x=-2 temos (x-1)^{2}=(-3)^{2}=9 e y^{2}=12, então\n f(-2,\pm 2\sqrt{3})=2\cdot 9 + 3\cdot 12 -7 =18+36-7=47.\n

Passo 8

Comparação e conclusão sobre máximos e mínimos\n
  • Temos os valores críticos encontrados: -7,\;11,\;43,\;47.\n
  • O menor valor entre esses é -7, atingido em (1,0). Como mostramos antes, (1,0) está no interior e é mínimo (local e global) da função na região.\n
  • O maior valor entre os candidatos é 47, atingido em (-2,2\sqrt{3}) e (-2,-2\sqrt{3}). Como não há outros pontos com valor maior na fronteira nem no interior, esses são os máximos globais na região.\n
  • Observação: os pontos (4,0) e (-4,0) são pontos críticos no procedimento com restrição, mas seus valores 11 e 43 não são máximos nem mínimos globais da região.\n

Resposta

Mínimo global: (1,0) com f(1,0)=-7.\n
Máximos globais: (-2,2\sqrt{3}) e (-2,-2\sqrt{3}) com f(-2,\pm 2\sqrt{3})=47.

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