Determine os valores de máximos, mínimos locais ou pontos selas se existir, das funções abaixo:
Calcule os valores extremos de
, na região descrita por
Calcule os valores extremos de
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos\n
- Pede: "Calcule os valores extremos de
na região ". Ou seja, queremos encontrar onde atinge mínimos e máximos na região fechada e limitada (o disco de raio ).\n - Função dada:
.\n - Região dada:
(disco fechado de raio ).\n - Observação importante para usar depois: a região é compacta (fechada e limitada), e
é contínua — portanto atinge mínimo e máximo na região.\n
Passo 2
Procurando pontos críticos no interior da região (onde
)\n
- Para achar pontos críticos de
no interior, calculamos o gradiente e igualamos a zero. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:\n
- Igualando a zero temos o sistema\n
- Da primeira equação vem
. Da segunda vem .\n - Assim o único ponto crítico interior é
. Agora verificamos se ele está dentro da região: , logo está no interior.\n
Passo 3
Classificação do ponto interior e cálculo de
— mostrando um método muito prático (completar quadrados)\n
- É útil completar quadrados para ver o comportamento da função. Reescrevendo
:\n
- Complete o quadrado em
: \n - Substituindo na expressão de
obtemos\n
- Dessa forma vemos claramente que os termos
e são sempre não-negativos, então a menor possível contribuição é , atingida quando e .\n - Portanto
. Isso mostra que é um mínimo global da função em toda a reta (e em particular na região dada). Em termos de classificação local, o fato de os coeficientes das quadráticas serem positivos ( e ) indica que a forma quadrática é positiva definida — logo é um mínimo local também.\n
Passo 4
Procura de extremos na fronteira
usando multiplicadores de Lagrange (método e aplicação)\n
- Ideia do método (rápido resumo didático): para maximizar/minimizar
sujeito à restrição , procuramos tal que\n
ou seja, as derivadas parciais satisfazem\n
- Vamos resolver esse sistema. Das equações temos\n
e\n
- Da segunda equação há duas possibilidades:
ou .\n
Passo 5
Caso 1:
\n
- Pela restrição
obtemos .\n - Verificamos se as equações de Lagrange são satisfeitas (para encontrar
correspondente):\n - Para
: . A equação fica . OK.\n - Para
: . A equação dá . OK.\n
- Para
- Assim dois pontos candidatos na fronteira:
e .\n
Passo 6
Caso 2:
\n
- Se
, da primeira equação temos \n- Pela restrição obtemos \n- Assim mais dois pontos candidatos: e .\n
Passo 7
Avaliação de
nos pontos críticos (interior e fronteira)\n
- Para facilitar uso a expressão completada:
.\n - Avaliando nos pontos:\n
- No interior:
\n - Na fronteira,
: \n - Na fronteira,
: \n - Na fronteira,
: para temos e , então\n \n
- No interior:
Passo 8
Comparação e conclusão sobre máximos e mínimos\n
- Temos os valores críticos encontrados:
.\n - O menor valor entre esses é
, atingido em . Como mostramos antes, está no interior e é mínimo (local e global) da função na região.\n - O maior valor entre os candidatos é
, atingido em e . Como não há outros pontos com valor maior na fronteira nem no interior, esses são os máximos globais na região.\n - Observação: os pontos
e são pontos críticos no procedimento com restrição, mas seus valores e não são máximos nem mínimos globais da região.\n
Resposta
Mínimo global:
com
.\n
Máximos globais: e
com
.
Máximos globais: