Verifique se as funções a seguir são diferenciáveis nos pontos especificados: f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{4}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.; no ponto (0,0)
A pergunta é: verificar se f é diferenciável no ponto (0,0).]
Passo 2
Vou explicar claramente o que significa "ser diferenciável em (0,0)". A função f é diferenciável em (0,0) se existir um mapa linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que, quando (x,y)\to(0,0),
Isto quer dizer que o resto (a diferença entre f e a aproximação linear) deve ser muito menor do que a norma \sqrt{x^{2}+y^{2}} quando chegamos ao ponto. Quando as derivadas parciais existem em (0,0), o candidato natural para L é
L(x,y)=f_x(0,0)\,x+f_y(0,0)\,y,
onde f_x e f_y são as derivadas parciais. Então o plano é: (i) calcular f_x(0,0) e f_y(0,0); (ii) usar esse L e verificar se o resto é o(\sqrt{x^2+y^2}). Se não for, f não é diferenciável.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais em (0,0) pela definição (limite de diferença quociente).
Para f_x(0,0) usamos
f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Quando y=0 e x=h\neq0 temos
f(h,0)=\frac{h^{2}\cdot 0}{h^{2}+0}=0.
Logo
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0,
portanto
f_x(0,0)=0.
Para f_y(0,0) usamos
f_y(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}.
Quando x=0 e y=k\neq0 temos
f(0,k)=\frac{0\cdot k}{0+k^{4}}=0.
Logo
\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\frac{0-0}{k}=0,
portanto
f_y(0,0)=0.
Concluímos que as derivadas parciais em (0,0) existem e são ambas zero. Assim o candidato a aproximação linear é L(x,y)=0.
Passo 4
Com L\equiv 0, a condição de diferenciabilidade passa a ser
Se esse limite não for zero, então o resto não é o(\sqrt{x^{2}+y^{2}}) e f não é diferenciável em (0,0). Para testar isso é comum tentar caminhos que facilitem a conta e que façam o numerador decair tão lentamente quanto a norma.
Passo 5
Escolhemos o caminho dado por x=y^{2}. Ou seja, tomamos pontos (x,y)=(y^{2},y) com y\to0. Substituindo na expressão de f (este é um uso explícito da informação da fórmula da função):
não existe como zero — pelo menos ao longo do caminho x=y^{2} o quociente tende para \pm\tfrac{1}{2}.
Passo 6
Como a condição necessária para diferenciabilidade (com L=0) falha — encontramos um caminho que dá limite diferente de 0 — concluímos que f não é diferenciável em (0,0). Isto mostra um exemplo clássico: mesmo com derivadas parciais existindo e valendo zero, a função pode não ser diferenciável porque o comportamento em direções oblíquas pode ser incompatível com uma aproximação linear.