Aplique a regra da cadeia em f(x)=\sqrt{x^{3}+4}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\sqrt{x^{3}+4}
e pede para calcular f'(x) usando a regra da cadeia, que é a técnica para derivar compostos de funções.

Passo 2

Identificamos a função externa e a interna:
a) Função interna
u(x)=x^{3}+4.
b) Função externa
g(u)=\sqrt{u}=u^{\tfrac12}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
a) Derivada da externa em termos de u:
g'(u)=\frac12\,u^{-\tfrac12}=\frac1{2\sqrt{u}}.
b) Derivada da interna em termos de x:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+4\bigr)=3x^{2}.

Passo 4

Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =\frac1{2\sqrt{u(x)}}\cdot3x^{2} =\frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+4}}.

Resposta

f'(x)=\frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+4}}.

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