Derive f(x)=\frac{1}{x}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função \displaystyle f(x)=\frac{1}{x}. O conteúdo envolvido é a regra de derivação de potência (power rule). Para usar essa regra, vamos reescrever \displaystyle \frac{1}{x} como uma potência de x.

Passo 2

Reescrevendo temos
f(x)=x^{-1}.
A regra de derivação de potência diz que, para qualquer expoente n,
\frac{d}{dx}x^n = n\,x^{n-1}.

Passo 3

Aplicando a fórmula com n=-1,
\frac{d}{dx}x^{-1} = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2}.
Por fim, convertemos de volta para fração:
-x^{-2} = -\frac{1}{x^2}.

Resposta

f'(x) = -\frac{1}{x^2}.

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