Encontre a segunda derivada de f(x)=x^{2} \ln (x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a segunda derivada de f(x)=x^{2}\ln(x). O conteúdo principal que vamos usar é a regra do produto para derivadas e a derivada de \ln(x). Note que a função só está definida para x>0.

Passo 2

Aplicando a regra do produto em f(x)=x^{2}\ln(x), temos
f'(x)=\bigl(x^{2}\bigr)' \ln(x) + x^{2}\bigl(\ln(x)\bigr)'
ou seja
f'(x)=2x\ln(x) + x^{2}\cdot\frac{1}{x}
f'(x)=2x\ln(x) + x.
Podemos escrever
f'(x)=x\bigl(2\ln(x)+1\bigr).

Passo 3

Para obter f''(x), derivamos f'(x)=x\,(2\ln(x)+1) de novo, usando mais uma vez a regra do produto:
f''(x)=\bigl(x\bigr)'\bigl(2\ln(x)+1\bigr) + x\bigl(2\ln(x)+1\bigr)'.
Isso dá
f''(x)=1\cdot\bigl(2\ln(x)+1\bigr) + x\cdot\Bigl(2\cdot\frac{1}{x}\Bigr)
f''(x)=2\ln(x)+1 + 2
f''(x)=2\ln(x)+3.

Resposta

f''(x)=2\ln(x)+3.

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