Aplique a regra do produto para f(x)=\left(x^{2}+1\right)\left(x^{3}+x\right).

Passo 1

O enunciado pede para aplicar a regra do produto à função
f(x) = \bigl(x^{2}+1\bigr)\,\bigl(x^{3}+x\bigr).
O conteúdo necessário é a derivação de produto de funções, em que, dadas
u(x)\quad\text{e}\quad v(x),
temos
(f(x)=u(x)\,v(x))\quad\Rightarrow\quad f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 2

Identificamos
u(x)=x^{2}+1\
e
v(x)=x^{3}+x.
Logo usaremos
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Derivamos cada parte usando a regra da potência \bigl(x^{n}\bigr)'=n\,x^{n-1}:
u'(x)=\bigl(x^{2}+1\bigr)'=2x,\
v'(x)=\bigl(x^{3}+x\bigr)'=3x^{2}+1.

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)\
f'(x)=2x\,(x^{3}+x)+(x^{2}+1)\,(3x^{2}+1).

Passo 5

Agora simplificamos termo a termo:
2x\,(x^{3}+x)=2x^{4}+2x^{2},\
(x^{2}+1)\,(3x^{2}+1)=3x^{4}+4x^{2}+1,
então
f'(x)=\bigl(2x^{4}+2x^{2}\bigr)+\bigl(3x^{4}+4x^{2}+1\bigr) =5x^{4}+6x^{2}+1.

Resposta

f'(x)=5x^{4}+6x^{2}+1.

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