Derive f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}}.
Para isso vamos usar as regras de derivação de produto e de cadeia, pois podemos reescrever f como produto de duas funções.

Passo 2

Reescrevendo
f(x)=x\,(x+1)^{-\tfrac12},
vemos que é produto de u(x)=x e v(x)=(x+1)^{-\tfrac12}. A regra do produto diz
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
f'(x) =1\cdot (x+1)^{-\tfrac12} + x\cdot \frac{d}{dx}(x+1)^{-\tfrac12}.

Passo 4

Agora usamos a regra da cadeia para \displaystyle v(x)=(x+1)^{-\tfrac12}.
Temos
v'(x) =-\tfrac12\,(x+1)^{-\tfrac32}\cdot\frac{d}{dx}(x+1) =-\tfrac12\,(x+1)^{-\tfrac32}.

Passo 5

Substituindo em f'(x):
f'(x) =(x+1)^{-\tfrac12} -\tfrac12\,x\,(x+1)^{-\tfrac32}.
Fatorando (x+1)^{-\tfrac32}:
f'(x) =(x+1)^{-\tfrac32}\Bigl[(x+1)-\tfrac12x\Bigr] =\frac{2(x+1)-x}{2\,(x+1)^{\tfrac32}} =\frac{x+2}{2\,(x+1)^{\tfrac32}}.

Resposta

f'(x)=\frac{x+2}{2\,(x+1)^{\tfrac32}}.

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