Derive f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}+2 x+1}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2x + 1}.
O conteúdo é a regra do quociente de derivadas: se f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.

Passo 2

Identificamos
u(x)=x^{3}, \quad v(x)=x^{2}+2x+1.
Agora precisamos de u'(x) e v'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
u'(x)=3x^{2}, \quad v'(x)=2x+2.

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) = \frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} = \frac{3x^{2}(x^{2}+2x+1)-x^{3}(2x+2)}{(x^{2}+2x+1)^{2}}.

Passo 5

Agora simplificamos o numerador:
3x^{2}(x^{2}+2x+1)-x^{3}(2x+2) =3x^{4}+6x^{3}+3x^{2}-2x^{4}-2x^{3} =x^{4}+4x^{3}+3x^{2} =x^{2}(x^{2}+4x+3) =x^{2}(x+1)(x+3).
E escrevemos o denominador como (x+1)^{4}. Logo,
f'(x) = \frac{x^{2}(x+1)(x+3)}{(x+1)^{4}} = \frac{x^{2}(x+3)}{(x+1)^{3}}.

Resposta

f'(x)=\frac{x^{2}(x+3)}{(x+1)^{3}}.

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