Aplique a regra do quociente para f(x)=\frac{x^{2}}{x+1}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\frac{x^{2}}{x+1}
usando a regra do quociente. O conteúdo aqui é derivação de função dada por quociente de duas funções, e vamos precisar da fórmula
\biggl(\frac{u}{v}\biggr)'=\frac{u'v - uv'}{v^{2}}.

Passo 2

Identificamos as duas funções envolvidas no quociente:
u(x) é o numerador e v(x) é o denominador, ou seja,
u(x)=x^{2},
v(x)=x+1.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e de v separadamente:
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2})=2x,
v'(x)=\frac{d}{dx}(x+1)=1.

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{(2x)(x+1) - (x^{2})(1)}{(x+1)^{2}}.

Passo 5

Agora simplificamos o numerador:
(2x)(x+1) - x^{2} =2x^{2}+2x - x^{2} =x^{2}+2x.
Logo a derivada fica
f'(x)=\frac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}} =\frac{x(x+2)}{(x+1)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{x(x+2)}{(x+1)^{2}}.

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