Calcule f^{\prime}(x) para f(x)=\left(2 x^{2}+3 x\right)\left(x^{2}-1\right).

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de f'(x) para
f(x) = \bigl(2x^{2}+3x\bigr)\bigl(x^{2}-1\bigr).
O conteúdo principal aqui é a derivada de um produto de funções, que usamos a regra do produto para resolver.

Passo 2

Definimos as funções
u(x) = 2x^{2}+3x, \quad v(x) = x^{2}-1.
Então suas derivadas são
u'(x) = \frac{d}{dx}(2x^{2}+3x) = 4x+3, \quad v'(x) = \frac{d}{dx}(x^{2}-1) = 2x.

Passo 3

Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v', obtemos
f'(x) = (4x+3)(x^{2}-1) + (2x^{2}+3x)\,(2x).

Passo 4

Agora expandimos e simplificamos termo a termo:
(4x+3)(x^{2}-1) = 4x^{3}+3x^{2}-4x-3,
(2x^{2}+3x)\,2x = 4x^{3}+6x^{2}.
Somando as duas partes:
f'(x) = \bigl(4x^{3}+3x^{2}-4x-3\bigr) + \bigl(4x^{3}+6x^{2}\bigr) = 8x^{3} + 9x^{2} -4x -3.

Resposta

f'(x) = 8x^{3} + 9x^{2} - 4x - 3.

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