Aplique a relação termodinâmica
à um gás de fotōes. Nessa expressão
onde
é a densidade de energia média da radiação. A pressão da radiação é dada pela expressão
.
Considerando a entropia
como função de
e
, mostre que:
Considerando a entropia
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de termodinâmica que pede para aplicar a relação $ T dS = dE + p dV $ em um gás de fótons. Aqui, $ E = V u $ onde $ u(T) $ é a densidade de energia média da radiação, e a pressão da radiação é dada por $ p = \frac{u}{3} $. Nosso objetivo é mostrar duas derivadas parciais da entropia $ S $ em relação ao volume $ V $ e à temperatura $ T $. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar as relações termodinâmicas básicas e manipular as derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a relação termodinâmica que vamos utilizar:
Sabemos que $ E = V u $, então podemos calcular a variação de $ E $:
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas, já que $ E $ depende de $ V $ e $ u $, que por sua vez depende de $ T $.
Passo 3
Substituindo $ dE $ na relação termodinâmica:
Sabemos que a pressão $ p = \frac{u}{3} $, então substituímos isso na equação:
Agrupando os termos com $ dV $:
Passo 4
Agora, vamos dividir ambos os lados por $ T $ para isolar $ dS $:
Isso nos dá a expressão diferencial da entropia $ S $ em termos de $ V $ e $ u $.
Passo 5
Sabemos que $ S $ é função de $ T $ e $ V $, então podemos escrever a derivada total de $ S $ como:
Comparando com a expressão que obtivemos anteriormente:
Podemos identificar os coeficientes correspondentes para igualar as expressões.
Passo 6
Da comparação, temos que:
Isso mostra a primeira parte que o exercício pede.
Passo 7
Agora, para encontrar $ \left( \frac{\partial S}{\partial T} \right)_V $, observamos que:
Então:
Note que $ U = E = V u $, então:
Substituindo isso na expressão anterior:
Resposta
Assim, mostramos que:
e