Aplique a relação termodinâmica T d S=d E+p d V à um gás de fotōes. Nessa expressão E=V u onde u(T) é a densidade de energia média da radiação. A pressão da radiação é dada pela expressão p=u3.
Considerando a entropia S como função de T e V, mostre que: (partial Spartial V)T=43 uT e
(partial Spartial T)V=VT d Ud T

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de termodinâmica que pede para aplicar a relação $ T dS = dE + p dV $ em um gás de fótons. Aqui, $ E = V u $ onde $ u(T) $ é a densidade de energia média da radiação, e a pressão da radiação é dada por $ p = \frac{u}{3} $. Nosso objetivo é mostrar duas derivadas parciais da entropia $ S $ em relação ao volume $ V $ e à temperatura $ T $. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar as relações termodinâmicas básicas e manipular as derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a relação termodinâmica que vamos utilizar:
T dS = dE + p dV
Sabemos que $ E = V u $, então podemos calcular a variação de $ E $:
E = V u
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas, já que $ E $ depende de $ V $ e $ u $, que por sua vez depende de $ T $.

Passo 3

Substituindo $ dE $ na relação termodinâmica:
dE
Sabemos que a pressão $ p = \frac{u}{3} $, então substituímos isso na equação:
T dS = u dV + V du + p dV
Agrupando os termos com $ dV $:
p = u3
T dS = u dV + V du + u3 dV

Passo 4

Agora, vamos dividir ambos os lados por $ T $ para isolar $ dS $:
T
Isso nos dá a expressão diferencial da entropia $ S $ em termos de $ V $ e $ u $.

Passo 5

Sabemos que $ S $ é função de $ T $ e $ V $, então podemos escrever a derivada total de $ S $ como:
S
Comparando com a expressão que obtivemos anteriormente:
T
Podemos identificar os coeficientes correspondentes para igualar as expressões.

Passo 6

Da comparação, temos que:
( partial Spartial V )T = 4u3T
Isso mostra a primeira parte que o exercício pede.

Passo 7

Agora, para encontrar $ \left( \frac{\partial S}{\partial T} \right)_V $, observamos que:
( partial Spartial T )V
Então:
VT du = ( partial Spartial T )V dT
Note que $ U = E = V u $, então:
( partial Spartial T )V = VT dudT
Substituindo isso na expressão anterior:
U = E = V u

Resposta

Assim, mostramos que:
( partial Spartial V )T = 43 uT
e
( partial Spartial T )V = VT dUdT

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